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ALGÉBRIQUE.

La différence de ces deux équations donne

$\Lambda {\tfrac {n}{n-1}}+\operatorname {Log} .{\tfrac {n}{n-1}}-\Lambda {\tfrac {n}{n+1}}-\operatorname {Log} .{\tfrac {n}{n+1}}=2\left({\frac {S_{2}}{n}}+{\frac {S_{4}}{n^{3}}}+{\frac {S_{6}}{n^{5}}}+\ldots \right)$

Mais on sait d’ailleurs (Introd. d’Euler, n.^o 179) que le second membre de cette dernière équation est la valeur de $n-\varpi \operatorname {Cot} .{\frac {\varpi }{n}}\,;$ donc

$\Lambda {\frac {n}{n-1}}+\operatorname {Log} .{\frac {n}{n-1}}-\Lambda {\frac {n}{n+1}}-\operatorname {Log} .{\frac {n}{n+1}}=n-\varpi \operatorname {Cot} .{\frac {\varpi }{n}}.$

On peut réunir $\Lambda$ et $\operatorname {Log} .$ dans une seule fonction $\mathrm {M}$ en posant généralement

$\mathrm {M} x=\Lambda x+\operatorname {Log} .x\,;$

l’équation précédente prend alors la forme plus simple

$\mathrm {M} {\frac {n}{n-1}}-\mathrm {M} {\frac {n}{n+1}}=n-\varpi \operatorname {Cot} .{\frac {\varpi }{n}}.$

On aura d’ailleurs, en reprenant l’expression de $U_{\varepsilon }$ (n.^o 5),

$\mathrm {M} (1+n)=\Lambda 1+U_{1}n-U_{2}n^{2}+U_{3}n^{3}-\ldots$

8. La fonction $\Gamma$ est (Arith. univ. n.^o 601)

$\Gamma n=B_{2}n+{\frac {B_{4}n^{3}}{3}}+{\frac {B_{6}n^{5}}{5}}+{\frac {B_{8}n^{7}}{7}}+\ldots \,;$

et on a (Ibid. n.^o 603) le théorème général

$\left.{\begin{array}{rrr}\operatorname {Log} .\left\{1(1+n)(1+2n)\ldots \left[1+(p-1)n\right]\right\}=&\\-p+\left({\frac {1}{n}}+p-{\frac {1}{2}}\right)\operatorname {Log} .(1+pn)+\Gamma {\frac {n}{1+pn}}-\Gamma n\,&:\\\end{array}}\right.\qquad$(L)

En faisant

$\Gamma (1+n)=\Gamma 1+\gamma _{1}n+\gamma _{2}n^{2}+\gamma _{3}n^{3}+\gamma _{4}n^{4}+\ldots ,\qquad$(M)

on pourrait, au moyen du théorème précédent, déterminer les