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ANALISE

pour vérifier les résultats précédens. Leur conformité servira d’ailleurs à garantir la justesse des valeurs employées pour $T_{2},T_{3},\ldots$

Cette dernière équation se tire de la formule (B) qui donne, en faisant $p=1,$

$1={\frac {1}{n}}\left\{\operatorname {Log} .(1+n)+\Lambda n-\Lambda {\frac {n}{n+1}}\right\}\qquad$(I)

d’où l’on tire, en mettant ${\frac {1}{n}}$ pour $n$

$\Lambda {\frac {1}{n}}=\Lambda {\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n}}-\operatorname {Log} .\left(1+{\frac {1}{n}}\right)$

Faisons successivement $n=1,2,3,\ldots \,;$ il viendra

${\begin{aligned}\Lambda 1&=\Lambda {\tfrac {1}{2}}+1-\operatorname {Log} .2,\\\Lambda {\tfrac {1}{2}}&=\Lambda {\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{2}}-\operatorname {Log} .\left(1+{\tfrac {1}{2}}\right),\\\Lambda {\tfrac {1}{3}}&=\Lambda {\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{3}}-\operatorname {Log} .\left(1+{\tfrac {1}{3}}\right),\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\\end{aligned}}$

d’où résultera, en prenant la somme de ces équations,

$\Lambda 1=1-\operatorname {Log} .2+{\tfrac {1}{2}}-\operatorname {Log} .\left(1+{\tfrac {1}{2}}\right)+{\tfrac {1}{3}}-\operatorname {Log} .\left(1+{\tfrac {1}{3}}\right)+\ldots \,;$

et en développant les logarithmes, excepté celui de 2,

${\begin{aligned}\Lambda 1=1-\operatorname {Log} .2&+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2.2^{2}}}-{\frac {1}{3.2^{3}}}+\ldots \\&+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{2.3^{2}}}-{\frac {1}{3.3^{3}}}+\ldots \\&+{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{2.4^{2}}}-{\frac {1}{3.4^{3}}}+\ldots \\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\\end{aligned}}$

en sommant les séries verticales, on obtient l’équation (H).

5. Or, les valeurs de $\Lambda 1,\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3},\ldots$ présentent la série suivante, singulière par son irrégularité, tant dans la succession des valeurs absolues, que dans celles des signes :