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SUR LE CALCUL DIFFÉRENTIEL.

J’avais bien prévu, en lisant Kant, que les géomètres seraient, tôt ou tard, l’objet des tracasseries de sa secte. On trouve, dans

${\begin{aligned}\operatorname {M'} =\operatorname {M} +{\tfrac {1}{2}}\operatorname {L} +{\tfrac {1}{3}}\operatorname {K} +\ldots &={\frac {m+1}{m+1+\mu }}(\operatorname {M+L+K} +\ldots ),\\\operatorname {L'} =\operatorname {L} +{\tfrac {1}{2}}\operatorname {K} +{\tfrac {1}{3}}\operatorname {I} +\ldots &={\frac {m+1}{m+\mu }}(\operatorname {L+K+I} +\ldots ),\\\operatorname {K'} =\operatorname {K} +{\tfrac {1}{2}}\operatorname {I} +{\tfrac {1}{3}}\operatorname {H} +\ldots &={\frac {m+1}{m-1+\mu }}(\operatorname {K+I+H} +\ldots ),\\\end{aligned}}$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Je tire de là ces deux résultats

1.^o ${\begin{aligned}\qquad \qquad \operatorname {M+L+K} +\ldots &={\frac {m+1+\mu }{m+1}}.\operatorname {M'} ,\\\operatorname {L+K+I} +\ldots &={\frac {m+\mu }{m+1}}.\operatorname {L'} ,\\\operatorname {K+I+H} +\ldots &={\frac {m+\mu -1}{m+1}}.\operatorname {K'} ,\ldots ,\\\end{aligned}}$
2.^o  $\operatorname {M'+L'+K'} +\ldots =\operatorname {M+L+K} +\ldots +{\tfrac {1}{2}}(\operatorname {L+K+I} +\ldots )$
$+{\tfrac {1}{3}}(\operatorname {K+I+H} +\ldots )+\ldots \,;$

donc, on aura, par la substitution du 1.^er dans le 2.^me,

$\operatorname {M'+L'+K'} +\ldots ={\frac {(m+1+\mu )}{m+1}}{\frac {\operatorname {M'} }{1}}+{\frac {(m+\mu )}{m+1}}.{\frac {\operatorname {L'} }{2}}$
$+{\frac {(m+\mu -1)}{m+1}}{\frac {\operatorname {K'} }{3}}+\ldots \,;$

par conséquent

$(m+1)\left(\operatorname {M'+L'+K'} +\ldots \right)=(m+2+\mu )\left(\operatorname {M'} +{\frac {\operatorname {L'} }{2}}+{\frac {\operatorname {K'} }{3}}+\ldots \right)$
$-\left(\operatorname {M'+L'+K'} +\ldots \right)\,;$

ce qui donne

${\frac {m+2}{m+2+\mu }}\left\{\operatorname {M'+L'+K'} +\ldots \right\}=\operatorname {M'} +{\tfrac {1}{2}}(\operatorname {L'} +{\tfrac {1}{3}}\operatorname {K'} +\ldots \,;$

équation dont le premier membre est, d’après (5), l’expression de $\operatorname {M''} .$ Donc