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SUR LE CALCUL DIFFÉRENTIEL.

${\frac {\varpi }{4}}=\left(1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\ldots \right)+\left\{{\frac {1}{x^{2}-1}}-{\frac {3}{x^{2}-3^{2}}}+{\frac {5}{x^{2}-5^{2}}}-\ldots \right\}\,;$

d’où, à cause de

${\frac {\varpi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\ldots ,$

on conclut

$0={\frac {1}{x^{2}-1}}-{\frac {3}{x^{2}-3^{2}}}+{\frac {5}{x^{2}-5^{2}}}-\ldots =\left\{{\begin{aligned}&{\frac {1}{x-1}}-{\frac {1}{x-3}}+{\frac {1}{x-5}}-\ldots \\-&{\frac {1}{x+1}}+{\frac {1}{x+3}}-{\frac {1}{x+5}}+\ldots \\\end{aligned}}\right.$

Ici je fais l’essai de $x=0,$ et j’ai, en divisant par 2

$0=-{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}-\ldots =-{\frac {\varpi }{4}}\,;$

résultat qui n’est pas vrai.

Je fais encore l’essai de $x=1,$ et j’ai

$0={\frac {1}{0}}+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}-\ldots -{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{6}}+\ldots ={\frac {1}{0}}\,;$

résultat encore plus étrange que le premier.^[1]

On me permettra, je pense, de tirer encore de ma théorie des

1. C’est la formule (21) du mémoire cité, empruntée d’Euler, et de laquelle l’auteur a déduit la sienne (23), qui contient le germe de l’erreur que je relève ici. Cette formule d’Euler, vraie pour quelques cas particuliers, n’en est pas moins, en général, d’une fausseté manifeste, puisqu’en y supposant $\alpha =n\varpi ,\ n$ étant un entier positif ou négatif, elle donne ${\frac {n}{4}}\varpi ^{2}=0.$