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DU CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Celle-ci, quand on fait $p=0,$ est la formule de Lagrange que nous venons de rappeler.

Soit, entre les variables $x$ et $y,$ la relation

$x-\theta =(y-\lambda )\psi (x,y),\qquad$(114)

qui donne $x=\theta$ quand $y=\lambda ,$ et réciproquement.

Dans la fonction donnée $\operatorname {F} (x,y)$ et dans (114), je regarde $x$ seul comme variable et j’ai, d’après la formule (113).

$\operatorname {F} (x,y)=\operatorname {F} (\theta ,y)+(y-\lambda ){\frac {\operatorname {d} }{\theta }}\operatorname {F} (\theta ,y).\psi (\theta ,y)+\ldots$

$+{\frac {(y-\lambda )^{n}}{1.2.\ldots n}}{\frac {\operatorname {d} ^{n}}{\theta }}\left\{{\frac {\operatorname {d} }{\theta }}\operatorname {F} (\theta ,y).\left[\psi (\theta ,y)\right]^{n}\right\}+\ldots \qquad$(115)

$\operatorname {F} (\theta ,y)$ et les coefficiens de $(y-\lambda )$ sont des fonctions de $y$ que je développe suivant les puissances de $(y-\lambda ),$ par le moyen de la formule (45) et j’ai, en faisant d’ailleurs pour abréger $u=\operatorname {F} (\theta -\lambda ),v=\psi (\theta -\lambda )$

$\operatorname {F} (\theta ,y)=u+(y-\lambda ){\frac {\operatorname {d} }{\lambda }}u+{\frac {(y-\lambda )^{2}}{1.2}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}}{\lambda }}u.+{\frac {(y-\lambda )^{3}}{1.2.3}}{\frac {\operatorname {d} ^{3}}{\lambda }}u+\ldots \,;$

${\frac {\operatorname {d} ^{n-1}}{\theta }}\left\{{\frac {\operatorname {d} }{\theta }}\operatorname {F} (\theta ,y).\left[\psi (\theta ,y)\right]^{n}\right\}=$

${\frac {\operatorname {d} ^{n-1}}{\theta }}\left({\frac {\operatorname {d} }{\theta }}u.v^{n}\right)+(y-\lambda ){\frac {\operatorname {d} }{\lambda }}{\frac {\operatorname {d} ^{n-1}}{\theta }}\left({\frac {\operatorname {d} }{\theta }}u.v^{n}\right)+\ldots$

Je substitue ces résultats dans (115), j’ordonne suivant les puissances de $(y-\lambda ),$ et j’ai

$\operatorname {F} (x,y)=u+A(y-\lambda )+B{\frac {(y-\lambda )^{2}}{1.2}}+\ldots +N{\frac {(y-\lambda )^{n}}{1.2\ldots n}}+\ldots \,;\qquad$(116)

équation dans laquelle le terme général des coefficiens est

$N={\frac {\operatorname {d} ^{n}}{\lambda }}u+n{\frac {\operatorname {d} ^{n-1}}{\lambda }}\left({\frac {\operatorname {d} }{\theta }}u.v\right)+{\frac {n}{1}}{\frac {n-1}{2}}{\frac {\operatorname {d} ^{n-2}}{\lambda }}{\frac {\operatorname {d} }{\theta }}\left({\frac {\operatorname {d} }{\theta }}u.v^{2}\right)+\ldots$

$+{\frac {\operatorname {d} }{\lambda }}{\frac {\operatorname {d} ^{n-2}}{\theta }}\left({\frac {\operatorname {d} }{\theta }}u.v^{n-1}\right)+{\frac {\operatorname {d} ^{n-1}}{\theta }}\left({\frac {\operatorname {d} }{\theta }}u.v^{n}\right).\qquad$(117)