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DU CALCUL DIFFÉRENTIEL.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

$\operatorname {F} (x+m)=\operatorname {F} x+{\frac {m}{\alpha }}\operatorname {d} \operatorname {F} x+{\frac {m^{2}}{1.2.\alpha ^{2}}}\operatorname {d} ^{2}\operatorname {F} x+{\frac {m^{3}}{1.2.3.\alpha ^{3}}}\operatorname {d} ^{3}\operatorname {F} x+\ldots$ (47)

$\operatorname {F} x=\operatorname {F} x_{0}+{\frac {x}{\alpha }}\operatorname {d} \operatorname {F} x_{0}+{\frac {x^{2}}{1.2.\alpha ^{2}}}\operatorname {d} ^{2}\operatorname {F} x_{0}+{\frac {x^{3}}{1.2.3.\alpha ^{3}}}\operatorname {d} ^{3}\operatorname {F} x_{0}+\ldots$ (48)

16. Je m’empresse d’appliquer ces formules au développement des différent ordres d’une même fonction.

Soit

$\operatorname {F} x=\varphi ^{x}z\,;$

la différence constante de $x$ étant $\alpha ,$ on aura (3)

$\Delta \operatorname {F} x=\varphi ^{x+\alpha }z-\varphi ^{x}z.$

Si la fonction $\varphi$ est distribuiive, cette expression se changera en

$\Delta \operatorname {F} x=\varphi ^{x}\left(\varphi ^{\alpha }z-z\right).\qquad$(49)

Admettons l’hypothèse, et faisons un moment

$\varphi ^{\alpha }z-z=fz.\qquad$(50)

D’après les théorèmes (n.^os 5, 6), $\varphi ^{\alpha }$ et $f$ seront des fonctions distributives ; et, au lieu de (49), nous aurons

$\Delta \operatorname {F} x=\varphi ^{x}fz,$

puis ; en prenant la différence de celle-ci,

$\Delta ^{2}\operatorname {F} x=\varphi ^{x+\alpha }fz-\varphi ^{x}fz=\varphi ^{x}\left(\varphi ^{\alpha }fz-fz\right)$

Si la fonction $\varphi$ est commutative avec les facteurs constans, elle le sera aussi, en vertu du théorème (n.^o 10), avec la fonction binôme $f,$ (50) c’est-à-dire, qu’on aura

$\varphi ^{\alpha }fz=f\varphi ^{\alpha }z.$

Admettons encore l’hypothèse ; parce que $f$ est distributive, nous aurons, d’après (50),

$\varphi ^{\alpha }fz-fz=f\varphi ^{\alpha }z-fz=f\left(\varphi ^{\alpha }z-z\right)=f^{2}z\,;$

ainsi, l’équation (51) devient