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DU CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Dans ce nouveau développement, je change $x$ en $x+n\alpha \,;$ alors le premier membre devient (2)

$\operatorname {F} (x+n\alpha )=\operatorname {E^{n}F} x\,;$

dans le second, $x-p$ devient $x-p+n\alpha .$ Après cela je change $p$ en $x\,;$ alors $\Delta p$ devient $\Delta x,$ et $\Delta ^{n}Fp$ devient $\Delta ^{n}\operatorname {F} x\,;$ les différences étant prises par rapport à $x$ qui varie de $\alpha \,;$ il vient ainsi

$\operatorname {E^{n}F} x=\operatorname {F} (x+n\alpha )=\operatorname {F} x+n\Delta \operatorname {F} x+{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}\Delta ^{2}\operatorname {F} x$

$+{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}.{\frac {n-2}{3}}\Delta ^{3}\operatorname {F} x+\ldots$ (34)

Ici je fais $n\alpha =m\,;$ d’où $n={\frac {m}{\alpha }}\,;$ et j’ai

$\operatorname {F} (x+m)=\operatorname {F} x+{\frac {m}{\alpha }}\Delta \operatorname {F} x+{\frac {m(m-\alpha )}{1.2.\alpha ^{2}}}\Delta ^{2}\operatorname {F} x$

$+{\frac {m(m-\alpha )(m-2\alpha )}{1.2.3.\alpha ^{3}}}\Delta ^{3}\operatorname {F} x+\ldots$ (35)

Dans l’équation (35), je fais $x=0\,;$ ce que j’exprimerai, relativement aux fonctions $\operatorname {F} x,\ldots \Delta ^{n}\operatorname {F} x,$ en écrivant $\operatorname {F} x_{0},\ldots \Delta ^{n}\operatorname {F} x_{0}\,;$ puis je change $m$ en $x,$ et j’ai

$\operatorname {F} (x)=\operatorname {F} x_{0}+{\frac {x}{\alpha }}\Delta \operatorname {F} x_{0}+{\frac {x(x-\alpha )}{1.2.\alpha ^{2}}}\Delta ^{2}\operatorname {F} x_{0}$

$+{\frac {x(x-\alpha )(x-2\alpha )}{1.2.3.\alpha ^{3}}}\Delta ^{3}\operatorname {F} x_{0}+\ldots$ (36)

15. La série (33) est aussi donnée par le procédé du n.^o 13, quand on fait

$\varphi x=x-p\,;\qquad \varphi 'x=x-p-\alpha \,;\qquad \varphi ''x=x-p-2\alpha \,;\ldots \,;$

mais il est bien plus difficile d’arriver à la forme générale et bien simple $\Delta ^{m}\operatorname {F} p$ qui comprend tous les coefficiens. On conclut sur-lechamp de cette série la possibilité du développement de $\operatorname {F} x$ suivant les puissances entières et positives de ${\frac {x-p}{\alpha }}\,;$ bien que le procédé du n.^o 13 ne donne rien à cet égard. En effet, les produits