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DU CALCUL DIFFÉRENTIEL.

que $\operatorname {FF} 'z,\ \operatorname {FF'F} ''z,\ldots$ (n.^o 11) dont les fonctions simples sont des fonctions polynômes, lorsque d’ailleurs les fonctions monômes qui composent ces dernières sont distributives et commutatives entre elles, ne présente aucune difficulté. On a, dans les équations {20), le type de celui de $\operatorname {FF} 'z\,;$ on passe, par le même procédé, de celui-ci à celui de $\operatorname {FF'F} ''z,$ et ainsi de suite ; on sait donc développer les fonctions comprises dans la formule

$\operatorname {FF} '\ldots z=(\operatorname {f} +{\mathcal {f}}+\ldots )(\operatorname {f} '+{\mathcal {f}}''+\ldots )\ldots .\qquad$(21)

Le développement général d’un ordre quelconque $\operatorname {F} ^{n}z$ d’une fonction polynôme $\operatorname {F} z,$ aux fonctions monômes distributives et commutatives, ressortit à la théorie générale du développement des fonctions en séries, dont nous allons exposer les principes.

13. Je suppose qu’on ait respectivement

$\left.{\begin{array}{rrrrr}x=\alpha ,&x=\beta ,&x=\gamma ,&x=\delta ,&\ldots ,\\{\text{lorsque}}\qquad \varphi x=0,&\varphi 'x=0,&\varphi ''x=0,&\varphi '''x=0,&\ldots ,\\\end{array}}\right\}$ (22)

J’écris la suite indéfinie d’équations

$\left.{\begin{aligned}\operatorname {F} \ \,x&=\operatorname {F} \alpha +\varphi x.\operatorname {F} 'x,\\\operatorname {F} '\,x&=\operatorname {F} '\beta +\varphi 'x.\operatorname {F} ''x,\\\operatorname {F} ''x&=\operatorname {F} ''\gamma +\varphi ''x.\operatorname {F} '''x,\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\\end{aligned}}\right\}\qquad$(23)

équations que je rends identiques, en supposan,

$\operatorname {F} 'x={\frac {\operatorname {F} x-\operatorname {F} \alpha }{\varphi x}},\ \operatorname {F} ''x={\frac {\operatorname {F} 'x-\operatorname {F} '\alpha }{\varphi 'x}},\ \operatorname {F} '''x={\frac {\operatorname {F} ''x-\operatorname {F} ''\alpha }{\varphi ''x}},\ldots$ (24)

Je prends la somme des produits respectifs des équations (23) par $1,\ \varphi x,\ \varphi x.\varphi 'x,\ \varphi x.\varphi 'x.\varphi ''x,\ldots ,$ et j’obtiens, en réduisant,

$\operatorname {F} x=\operatorname {F} \alpha +\varphi x.\operatorname {F} '\beta +\varphi x.\varphi 'x.\operatorname {F} ''\gamma +\varphi x.\varphi 'x.\varphi ''x.\operatorname {F} '''\delta +\ldots$(25)

Les équations (24) donnent ensuite, sur-le-champ,