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LIMITES DES RACINES

ficient soustractif le plus éloigné de zéro. On sait que, dans cet état de choses, on doit avoir

$x<1+{\sqrt[{i}]{P_{x}}}\qquad (2)$

Quoique la démonstration de cette proposition ne soit pas difficile, et qu’elle se trouve dans plusieurs ouvrages élémentaires ; comme on s’est quelquefois mépris sur le sens des mots, et sur la véritable interprétation du résultat ; on ne trouvera peut-être pas mauvais que je reproduise ici cette démonstration.

On aura

$x<L,\qquad (3)$

si, $L$ étant substituée à $x$, dans $X=0,$ le résultat est additif, et si les résultats ultérieurs conservent le signe +, pour tout sombre substitué $>L.$ Or, de la somme des additifs de (1), la plus petite valeur est $x^{m}$ et de la somme des soustractifs, la valeur la plus éloignée de zéro est

$-P_{k}\left(x^{m-i}+x^{m-i-1}+x^{m-i-2}+\ldots +1\right)\,;$

valeur qu’elle aurait, en effet, si chaque terme était soustractif depuis le premier soustractif $-P_{i}x^{m-i},$ et s’ils avaient tous pour coefficiens le coefficient $-P_{k}$ plus éloigné de zéro. $x$ sera donc $<L,$ si, pour le nombre $L,$ et pour tout nombre supérieur à $L,$ on a

$L^{m}>P_{k}\left\{L^{m-i}+L^{m-i-1}+L^{m-i-2}+\ldots +1\right\}.\qquad (4)$

Dans cette relation, le polynôme $L^{m-i}+L^{m-i-1}+L^{m-i-2}+\ldots +1$ est le quotient de la division de $L^{m-i+1}-1$ par $L-1$ ; donc la condition (4) sera remplie, si la suivante est satisfaite

$L^{m}>P_{k}\left\{{\frac {L^{m-i+1}-1}{L-1}}\right\}.\qquad (5)$

Cette dernière peut être mise sous cette autre forme

$L^{m}>{\frac {P_{k}L^{m-i+1}}{L-1}}-{\frac {P_{k}}{L-1}}\,;\qquad (6)$

et l’on voit que la condition (6) sera satisfaite par $L,$ et par tout nombre supérieur à $L,$ si l’on a seulement