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RÉSOLUES.

par $\nu ,$ pour rayon vecteur ; soit désigné par $t$ l’angle $\mathrm {MAX}$ ; cet angle ayant pour mesure la moitié de l’arc $\mathrm {AM} ,$ dont le sinus est la moitié de la corde $\mathrm {AM} ,$ on aura

$t:\operatorname {Sin} .t::{\tfrac {1}{2}}a:{\tfrac {1}{2}}\nu :a:\nu ,$

d’où

$\nu =a.{\frac {\operatorname {Sin} .t}{t}},\qquad$(2)

telle est l’équation polaire de la courbe, telle qu’elle a été donnée par MM. Bérard et Van Utenhove ; elle peut aisément servir à décrire cette courbe par points ; mais comme $t$ s’y trouve exprimé en parties du rayon, pris pour unité, ce qui peut être incommode pour la pratique, il sera plus convenable d’écrire

$\nu ={\frac {180^{\circ }}{t}}.{\frac {a}{\varpi }}\operatorname {Sin} .t,\qquad \nu ={\frac {200^{\circ }}{t}}.{\frac {a}{\varpi }}\operatorname {Sin} .t,$

suivant qu’il s’agira de l’ancienne ou de la nouvelle division du cercle, et alors $t$ sera un nombre de degrés.

D’après l’équation (2) on a

${\frac {\mathrm {d} \nu }{\mathrm {d} t}}=a.{\frac {t\operatorname {Cos} .t-\operatorname {Sin} .t}{t^{2}}},$

on aura donc, pour l’arc de courbe

$\int \mathrm {d} t{\sqrt {\nu ^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} 2}}\right)^{2}}}=a\int {\frac {\mathrm {d} \nu }{\mathrm {d} t}}{\sqrt {t^{2}-2t\operatorname {Sin} .t\operatorname {Cos} .t+\operatorname {Sin} .^{2}t}},$

et pour son secteur

${\tfrac {1}{2}}\int \nu ^{2}\mathrm {d} t={\frac {a^{2}}{2}}\int {\frac {\mathrm {d} t\operatorname {Sin} .^{2}t}{t^{2}}}\,;$