Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1812-1813, Tome 3.djvu/378

Le texte de cette page a été corrigé et est conforme au fac-similé.
370
CORRESPONDANCE.

qui satisfont à l’équation (1), satisfont aussi à l’équation (2) ; mais réciproquement, faut-il en conclure que toutes les couples qui satisfont à cette dernière équation, satisfont aussi à la première ? Je pense que cette conséquence ne peut être admise sans démonstration.

D’après cela, si, dans l’équation (2), on fait on aura bien une valeur correspondante de  ; mais il reste à savoir si ce couple satisfait à l’équation primordiale, d’autant plus que cette équation (1) peut cesser d’exister dans ce cas. Je persiste donc à croire qu’il est très-difficile de ramener la démonstration de ce principe à des notions purement élémentaires.

Permettez-moi, Monsieur, de saisir cette occasion, pour répondre à la réclamation insérée à la page 97 de ce volume.

Je n’ignorais point, en effet, que M, Berard eût une construction nouvelle de la parabole ; mais je n’avais pas connaissance du moyen qu’il employait. Je l’ai examiné depuis, et j’ai reconnu que nos méthodes diffèrent essentiellement.

Celle que l’on trouve dans les Opuscules mathématiques de M. Bérard, a pour but de déterminer le foyer, et emploie pour cela cette propriété de la parabole, que la tangente fait des angles égaux avec le rayon vecteur et le diamètre. Mais il faut bien remarquer que, si le système primitif des axes auxquels on rapporte la courbe est rectangulaire, les tangentes (3) et (4) seront à angles droits (page 223 du tome 2.e des Annales), et la droite qui joindra les points de contact et passera toujours par le foyer ; en sorte que la construction donnée par M. Bérard n’est point applicable au cas où le système primitif des axes est rectangulaire. Il faut donc, dans ce cas, recourir à une autre propriété, pour construire la parabole. Cette propriété consiste en ce que le point de rencontre des tangentes (3) et (4) est un point de la directrice de la parabole.

L’inconvénient que je viens de remarquer n’a point lieu dans ma méthode, ce qui la, rend tout à fait générale. En effet, elle