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ET SURFACES LIMITES.

à la valeur $A'=A+\alpha$ ; soient $t'$ le point où elle touche $mm,$ et $p$ celui où elle coupe $gg.$ Plus $\alpha$ diminuera, et plus aussi le point $p$ se rapprochera du point $t,$ en suivant l’arc de courbe $pt$ ; en sorte que ces deux points se réuniront en un seul, lorsqu’enfin $\alpha$ sera devenu tout à fait nul, mais alors les deux courbes $gg$ et $g'g'$ se confondront dans toute leur étendue.

Cela posé, on a, par le théorème de Taylor,

Équations de $gg\left\{{\begin{aligned}V&=0,&&(1)\\{\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} A}}&=0\,;&&(2)\\\end{aligned}}\right.$

Équations de $g'g'\left\{{\begin{aligned}V+{\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} A}}{\frac {\alpha }{1}}+{\frac {\mathrm {d} ^{2}V}{\mathrm {d} A^{2}}}{\frac {\alpha ^{2}}{1.2}}+\ldots &=0,&&(3)\\{\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} A}}+{\frac {\mathrm {d} ^{2}V}{\mathrm {d} A^{2}}}{\frac {\alpha }{1}}+{\frac {\mathrm {d} ^{3}V}{\mathrm {d} A^{3}}}{\frac {\alpha ^{2}}{1.2}}+\ldots &=0\,;&&(4)\\\end{aligned}}\right.$

équations dont les dernières rentrent, en effet, dans les premières, lorsqu’on suppose $\alpha =0$ ; et dont la combinaison, dans le cas contraire, fera connaître le point $p.$ Elles sont au nombre de quatre, parce que, généralement parlant, deux courbes ne se coupent pas dans l’espace, mais, comme $gg$ et $g'g'$ sont ici situées toutes deux sur la surface $\mathrm {MMM} ,$ elles doivent se rencontrer et ces quatre équations doivent équivaloir à trois seulement.

En rejetant donc la troisième, le point $p$ sera donné par le système des équations (1), (2), (4). Mais, lorsque trois surfaces passent par un même point, toute surface qui a pour équation une combinaison quelconque des équations de celle-là, passe aussi par ce point ; donc, en particulier, la différence entre les équations (2) et (4) est l’équation d’une surface qui, combinée avec celle qu’exprime l’équation (1), exprimera une courbe $h'h'$ qui, comme $g'g',$ coupera $gg$ au point $p.$ Cette équation est

${\frac {\mathrm {d} ^{2}V}{\mathrm {d} A^{2}}}{\frac {\alpha }{1}}+{\frac {\mathrm {d} ^{3}V}{\mathrm {d} A^{3}}}{\frac {\alpha ^{2}}{1.2}}+\ldots =0,$

ou, plus simplement,