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ET SURFACES LIMITES.

l’équation commune à une infinité de surfaces courbes, rapportées aux mêmes axes, et ne différant entre elles que par la constante $A$ ; et proposons-nous de déterminer l’équation de la surface à laquelle toutes celles-là sont tangentes.

Soit $\mathrm {MMM}$ la surface cherchée^[1], c’est-à-dire, la surface enveloppe ; soit $\mathrm {GGG}$ celle des surfaces enveloppées qui répond à la valeur $A,$ et soit $\mathrm {TT}$ la courbe suivant laquelle elle touche $\mathrm {MMM}$ ; soient, de plus, $\mathrm {G'G'G'}$ celle des surfaces enveloppées qui répond à la valeur $A'=A+\alpha ,\ \mathrm {T'T'}$ la courbe suivant laquelle elle touche $\mathrm {MMM}$, et $\mathrm {PP}$ celle suivant laquelle elle coupe $\mathrm {GGG}$. On conçoit clairement que plus $\alpha$ diminuera, et plus aussi la courbe $\mathrm {PP}$ se rapprochera de $\mathrm {TT}$, en suivant la surface $\mathrm {GGG}$ ; en sorte que ces deux courbes se réuniront en une seule, lorsqu’enfin $\alpha$ sera devenu tout à fait nul ; mais alors les deux surfaces $\mathrm {GGG}$ et $\mathrm {G'G'G'}$ se confondront dans toute leur étendue.

Cela posé, on a, par le théorème de Taylor,

Équation de $\mathrm {GGG} ,\qquad V=0,\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad$(I)

Équation de $\mathrm {G'G'G'} ,\quad V+{\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} A}}{\frac {\alpha }{1}}+{\frac {\mathrm {d} ^{2}V}{\mathrm {d} A^{2}}}{\frac {\alpha ^{2}}{1.2}}+\ldots =0\,;\qquad$(II)

équations qui rentrent, en effet, l’une dans l’autre, lorsqu’on suppose $\alpha =0,$ et dont la combinaison, dans le cas contraire, fera connaître la courbe $\mathrm {PP}$.

Or, on sait que, lorsque deux surfaces se coupent suivant une certaine courbe, toute surface qui a pour équation une combinaison quelconque des équations de ces deux surfaces, passe aussi par cette courbe ; donc, en particulier, la différence entre les équations (I) et (II) est l’équation d’une surface $\mathrm {H'H'H'}$ qui, comme $\mathrm {G'G'G'}$, coupe $\mathrm {GGG}$ suivant la courbe $\mathrm {PP}$. Cette équation est

1. Je sous-entends la figure, qu’il est plus aisé de concevoir que de représenter, sans confusion.