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FACULTÉS

$\left(1-{\frac {4y^{2}}{1}}\right)\left(1-{\frac {4y^{2}}{9}}\right)\left(1-{\frac {4y^{2}}{25}}\right)\left(1-{\frac {4y^{2}}{49}}\right)\ldots ,$

que nous savons être égal à $\operatorname {Cos} .\varpi y$. De l’autre, nous aurons la série

$1-{\frac {2y^{2}}{1}}+{\frac {4y^{2}\left(y^{2}-1\right)}{1.2.1.3}}-{\frac {8y^{2}\left(y^{2}-1\right)\left(y^{2}-4\right)}{1.2.3.1.3.5}}+\ldots ,$

laquelle exprimera aussi conséquemment $\operatorname {Cos} .\varpi y$, et sera effectivement applicable, dans tous les cas particuliers.

12. L’objet principal que nous nous proposons dans ce mémoire et dans ceux qui le suivront, c’est de décomposer toute suite infinie proposée

$1-ay^{2}+by^{4}-cy^{6}+dy^{8}-\ldots$

en facteurs de l’une ou de l’autre des deux formes

$1-{\frac {y^{2}}{h^{2}}},\qquad 1+{\frac {y^{2}}{h^{2}}},$

dans les cas où cette décomposition est effectivement possible. Ces cas sont beaucoup plus fréquens qu’on ne le suppose ordinairement ; les problèmes les plus difficiles et les plus importans de mécanique et d’astronomie, inaccessibles aux méthodes ordinaires, conduisent finalement à de pareilles séries, et se trouvent ainsi réductibles à nos facultés numériques. Dans cette vue, nous nous proposerons les problèmes préliminaires qui suivent :

13. Essayons de réduire le produit

$y^{2}\left\{y^{2}-1\right\}\left\{y^{2}-4\right\}\left\{y^{2}-9\right\}\ldots \left\{y^{2}-(n-1)^{2}\right\},$

au langage des factorielles ; nous trouverons

$y^{2}\left\{y^{2}-1\right\}\left\{y^{2}-4\right\}\left\{y^{2}-9\right\}\ldots \left\{y^{2}-(n-1)^{2}\right\}=y.(y-n+1)^{2n-1|1}$

Appliquant le théorème binomial à la factorielle

$(y-n+1)^{2n-1|1},$

elle deviendra

$\left\{y-(n-1)\right\}^{2n-1|1}=y^{2n-1|1}-{\frac {2n-1}{1}}(n-1)y^{2n-2|1}$

$+{\frac {2n-1}{1}}.{\frac {2n-2}{2}}(n-1)(n-2)y^{2n-3|1}$