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ELLIPSE ET ELLIPSOÏDE.

Supposons présentement que les diamètres conjugués dont il a été question jusqu’ici soient rectangulaires, et soient conséquemment les axes mêmes de l’ellipsoïde ; le parallélipïpède sera alors rectangle.

Or, l’équation (G) donne

$a={\frac {a'}{b'c'}}{\sqrt {b'^{2}c'^{2}-b'^{2}c^{2}-c'^{2}b^{2}}},$ d’où $8abc={\tfrac {8a'bc}{b'c'}}{\sqrt {b'^{2}c'^{2}-b'^{2}c^{2}-c'^{2}b^{2}}}\,;$

mais $8abc$ exprime le volume du parallélipipède inscrit à l’ellipsoïde donné par l’équation (G) ; donc ${\frac {8a'bc}{b'c'}}{\sqrt {b'^{2}c'^{2}-b'^{2}c^{2}-c'^{2}b^{2}}}\,;$ est aussi l’expression de ce volume ; or, si l’on égale à zéro ses deux coefficiens différentiels pris en faisant varier successivement $b$ et $c,$ il viendra

$b'^{2}c'^{2}-2b^{2}c'^{2}-c^{2}b'^{2}=0,\qquad b'^{2}c'^{2}-2c^{2}b'^{2}-b^{2}c'^{2}=0,$

d’où

$b=\pm {\frac {b'}{\sqrt {3}}},\qquad c=\pm {\frac {c'}{\sqrt {3}}},\qquad a=\pm {\frac {a'}{\sqrt {3}}}\,;$

ces valeurs de $a,b,c,$ déterminent donc les huit sommets du plus grand parallélipipède rectangle inscrit à l’ellipsoïde, lequel, comme il est aisé de le voir, a pour ses diagonales les diamètres conjugués égaux de l’ellipsoïde, et est conséquemment semblable au parallélipipède formé par les plans tangens aux sommets de cet ellipsoïde.

De là, nous pouvons conclure que, de tous les ellipsoïdes inscrits à l’octaèdre qui a ses sommets aux sommets mêmes de l’ellipsoïde donné, le plus grand est celui qui est inscrit au parallélipipède rectangle dont les diagonales sont les diamètres conjugués égaux de ce premier ellipsoïde. L’ellipsoïde ainsi construit est semblable au premier, et son volume est au sien, comme 1 est à $3{\sqrt {3}}.$

Si l’on fait $c=b=a,$ il vient

$a={\frac {a'b'c'}{\sqrt {a'^{2}b'^{2}+b'^{2}c'^{2}+c'^{2}a'^{2}}}}\,;$