Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1812-1813, Tome 3.djvu/339

331

NUMÉRIQUES.

10. Effectivement, faisons, dans les théorèmes précédais, $h=1$ ; nous aurons, d’un côté

$\left(1-{\frac {y^{2}}{1}}\right)\left(1-{\frac {y^{2}}{4}}\right)\left(1-{\frac {y^{2}}{9}}\right)\left(1-{\frac {y^{2}}{16}}\right)\ldots \,;$

produit que l’on sait être égal ${\frac {\operatorname {Sin} .\varpi y}{\varpi y}}$, et de l’autre la série

$1-{\frac {y^{2}}{1}}+{\frac {y^{2}(y^{2}-1)}{1.4}}-{\frac {y^{2}(y^{2}-1)(y^{2}-4)}{1.4.9}}+{\tfrac {y^{2}(y^{2}-1)(y^{2}-4)(y^{2}-9)}{1.4.9.16}}-\ldots$

On peut aisément vérifier que cette série s’évanouit, en effet, pour toutes les valeurs entières de $y.$ Mais il importe de nous assurer, par un exemple, que cette série est effectivement applicable à toutes les valeurs fractionnaires de $y$ ; de plus, nous devons montrer que la série est convergente à volonté. Cherchons, en conséquence, d’après cette même série, le sinus de l’angle de 66.°36’, égal à $0,37\varpi$ ; ce qui donne $y=0,37\,;$ et

${\begin{aligned}y^{2}=+0,1369,&\qquad y^{2}-16=-15,1369,\\y^{2}-1=-0,8631,&\qquad y^{2}-25=-24,1369,\\y^{2}-4=-3,8631,&\qquad y^{2}-36=-35,1369,\\y^{2}-9=-8,8631,&\qquad \ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}$

On aura de plus

${\begin{aligned}1-y^{2}=0,8691000,&\qquad 1-{\frac {y^{2}}{25}}=0,9945240,\\1-{\frac {y^{2}}{4}}=0,9657750,&\qquad 1-{\frac {y^{2}}{46}}=0,9961972,\\1-{\frac {y^{2}}{9}}=0,9847889,&\qquad 1-{\frac {y^{2}}{39}}=0,9972061,\\1-{\frac {y^{2}}{16}}=0,9914438,&\qquad 1-{\frac {y^{2}}{64}}=0,9978609\,;\\\end{aligned}}$

et par conséquent