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NUMÉRIQUES.

en posant successivement $y=1,2,3,4,\ldots$ on aura

${\begin{aligned}{\frac {(h-1)}{h}}&=1-A,\\{\frac {(h-2)(h-1)}{h(h+1)}}&=1-4A+12B,\\{\frac {(h-3)(h-2)(h-1)}{h(h+1)(h+2)}}&=1-9A+72B-360C,\\{\frac {(h-4)(h-3)(h-2)(h-1)}{h(h+1)(h+2)(h+3)}}&=1-16A+240B-s2880C+20160D,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \,;\\\end{aligned}}$

d’où, par un calcul très-facile, on déduit pour $A,B,C,\ldots$ les mêmes valeurs que nous venons d’obtenir.

8. En multipliant cette même série par $1-{\frac {y^{2}}{(h-1)^{2}}},$ il doit en résulter ce qu’elle devient en y remplaçant simplement la lettre $h$ par $h-1.$ Pour faire cette multiplication, considérons que $y^{2}$ peut être remplacé

${\begin{aligned}par\ 1+(y^{2}-1),&\\par\ 4+(y^{2}-4),&\\par\ 9+(y^{2}-9),&\\\ldots \ldots \ldots \,;\\\end{aligned}}$

ce qui suffit pour rendre au produit sa forme primitive. Il deviendra alors, avec cette attention,

$1-y^{2}\left\{{\frac {1}{h}}+{\frac {1}{(h-1)^{2}}}-{\frac {1}{h(h-1)^{2}}}\right\}$

$+{\frac {y^{2}(y^{2}-1)}{h}}\left\{{\frac {1}{2(h+1)}}+{\frac {1}{(h-1)^{2}}}-{\frac {2}{(h+1)(h-1)^{2}}}\right\}$