Du théorème qui vient d’être démontré on peut conclure le suivant.
THÉORÈME. Le sommet de la surface conique circonscrite à une surface du second ordre est sur un diamètre tel que les plans tangens à ses extrémités sont parallèles au plan de la ligne de contact.
Il suit évidemment de la nature des pôles des surfaces du second ordre que, si deux plans sont tels que le second passe par le pôle du premier, le premier passera réciproquement par le pôle du second ; si donc le second tourne autour du pôle du premier, son pôle sera continuellement dans ce premier plan. De là résulte encore cet autre théorème :
THÉORÈME. Un plan tournant autour d’un point fixe, situé d’une manière quelconque par rapport à une surface du second ordre, son pôle ne sort pas d’un plan parallèle aux plans qui toucheraient cette surface aux deux extrémités du diamètre mené par ce point fixe ; et réciproquement.
On voit, d’après cela, que, si un plan tourne à la fois autour de deux points fixes, auquel cas il tournera autour d’une droite fixe passant par ces deux points ; son pôle ne sortira pas de deux plans fixes, et décrira conséquemment la droite qui est l’intersection de ces deux plans. Cette droite sera parallèle à l’intersection des plans tangens aux points de la surface courbe où elle est rencontrée par les diamètres qui passent par les deux points fixes. Nous appellerons la droite décrite par le pôle, dans ce cas, la polaire de celle autour de laquelle tourne le plan auquel ce pôle appartient.
Examinons présentement les diverses directions que prend cette polaire suivant les diverses situations de la droite à laquelle elle correspond. Supposons que le plan (Q) soit assujetti à passer constamment par une droite (M), ayant pour ses deux équations
