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ET SURFACES DU SECOND ORDRE.

l’équation de la tangente (T) au point de la ligne (L) prend cette forme très-simple

(T)

Supposons, en second lieu, que l’on propose de mener à la courbe une tangente, par un point extérieur (p), ayant et pour ses coordonnées ; la question se réduira à déterminer le point de contact, ou plutôt les coordonnées de ce point. Si l’on désigne par et ces coordonnées, l’équation de la tangente sera, comme ci-dessus, l’équation (T), avec cette différence que et s’y trouvaient connues et qu’ici il faut les déterminer ; or, elles se trouvent d’abord liées par l’équation (L’) ; de plus, le point (p) étant sur (T), on doit avoir

ou

(q’)

on aura donc les coordonnées du point de contact, en combinant cette dernière équation avec l’équation (L’) ou, ce qui revient au même, en combinant avec l’équation (L) l’équation

(q)

Mais, au lieu de combiner entre elles les équations (L) et (q), on peut construire leurs lieux géométriques, qui détermineront, par leur intersection, le point de contact cherché ; or ; de ces deux lieux, le premier (L) se trouve tout construit ; puisque c’est la courbe donnée elle-même ; et, comme l’autre (q) est celui d’une ligne droite, il s’ensuit que c’est l’équation de la droite qui joint les points de contact qui, en effet, doivent être au nombre de deux, puisque leur détermination dépend de la combinaison d’une équation (L) du second degré avec une équation (q) du premier.

Ainsi, le sommet (p) d’un angle circonscrit à une ligne (L) du second ordre étant donné, rien n’est plus facile que de déterminer la droite (q) qui joint les deux points où les côtés de cet angle touchent la courbe. Le problème inverse, c’est-à-dire, celui où l’on