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DES MOYENNES DISTANCES.

supposons que les plans coordonnés primitifs soient rectangulaires, et que le centre d’inertie soit pris pour origine. Les équations (1) détiendront alors

$\Sigma (m'x')=0,\quad \Sigma (m'y')=0,\quad \Sigma (m'z')=0.\quad$(3)

Soit un point quelconque $m,$ ayant pour ses coordonnées $x,y,z\,;$ soient $r,r',r'',r''',\ldots$ les distances respectives des points $m,m',m'',m''',\ldots$ à l’origine ; soient, en outre, $a',a'',a''',\ldots$ les distances respectives du point $m$ aux points $m',m'',m''',\ldots$ nous aurons d’abord

$\left.{\begin{aligned}x^{2}+y^{2}+z^{2}&=r^{2},\\x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}&=r'^{2},\\x''^{2}+y''^{2}+z''^{2}&=r''^{2},\\x'''^{2}+y'''^{2}+z'''^{2}&=r'''^{2},\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \\\end{aligned}}\right\}\qquad (4)$

et ensuite

$\left.{\begin{aligned}(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}&=a'^{2},\\(x-x'')^{2}+(y-y'')^{2}+(z-z'')^{2}&=a''^{2},\\(x-x''')^{2}+(y-y''')^{2}+(z-z''')^{2}&=a'''^{2},\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \\\end{aligned}}\right\}\qquad (5)$

En prenant la somme des produits respectifs des développement de ces dernières équations par $m',m'',m''',\ldots$ et ayant égard aux équations (3) et (4), on obtiendra

$r^{2}\Sigma (m')+\Sigma (m'r'^{2})=\Sigma (m'a'^{2}).\qquad$(6)

Ainsi une sphère ayant pour centre le centre d’inertie d’un système de points matériels, la somme des produits des masses de ce système par les quarrés de leurs distances respectives à un point quelconque