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RATIONNELLES.

Soit proposée, pour exemple, la fraction

${\frac {9x^{6}-94x^{5}+383x^{4}-787x^{3}+891x^{2}-576x+192}{(x-1)^{3}(x-2)^{2}(x-3)(x-4)}}.$

Nous aurons ici

${\begin{aligned}\psi x&=9x^{6}-94x^{5}+383x^{4}-787x^{3}+891x^{2}-576x+192,\\\phi x&=(x-1)^{3}(x-2)^{2}(x-3)(x-4),\\a&=1\\\mathrm {f} x&=(x-1)^{2}(x-3)(x-4)=-11x^{3}+44x^{2}-76x+48\,;\\\end{aligned}}$

donc

${\begin{aligned}\psi 'x&=54x^{5}-470x^{4}+1532x^{3}-2361x^{2}+1782x-576,\\\psi ''x&=270x^{4}-1880x^{3}+4596x^{2}-4722x+1782,\\\mathrm {f} 'x&=4x^{3}-33x^{2}+88x-76,\\\mathrm {f} ''x&=12x^{2}-66x+88,\\\end{aligned}}$

et par conséquent

$\psi a=18,\qquad \psi 'a=-39,\qquad \psi ''a=46,$

$\mathrm {f} a=6,\qquad \mathrm {f} 'a=-17,\qquad \mathrm {f} ''a=34,$

donc

${\begin{aligned}18&=6\mathrm {F} a,\\-39&=6\mathrm {F} 'a-17\mathrm {F} a,\\46&=6\mathrm {F} ''a-34\mathrm {F} 'a+34\mathrm {F} a\,;\\\end{aligned}}$

et de là

$\mathrm {F} a=3,\qquad \mathrm {F} 'a=2,\qquad \mathrm {F} ''a=2.$

Donc

$\mathrm {F} x=3+2(x-1)+(x-1)^{2}=x^{2}+2,$

$\mathrm {f} x\mathrm {F} x=x^{6}-11x^{5}+46x^{4}-98x^{3}+136x^{2}-152x+96,$

$\psi x-\mathrm {f} x\mathrm {F} x=8x^{6}-83x^{5}+337x^{4}-689x^{3}+755x^{2}-424x+96,$