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ATTRACTION DES SPHÉROÏDES.

${\frac {V}{M}}=B\left(k'^{2}-k^{2}\right)^{p}\left(k''^{2}-k^{2}\right)^{q}+B'\left(k'^{2}-k^{2}\right)^{p'}\left(k''^{2}-k^{2}\right)^{q'}+\ldots$

Il suit de là que l’équation

$B\left(k'^{2}-k^{2}\right)^{p}\left(k''^{2}-k^{2}\right)^{q}+B'\left(k'^{2}-k^{2}\right)^{p'}\left(k''^{2}-k^{2}\right)^{q'}+\ldots$

$=Ak^{2m}.k'^{2n}.k''^{2l}+A'k^{2m'}.k'^{2n'}.k''^{2l'}+\ldots$

doit être identiquement vraie. Cette identité ne cesse pas de subsister, en faisant $k=0,$ dans les deux membres de l’équation ; ainsi, l’on aura

$(C)\ Bk'^{2p}.k''^{2q}+B'k'^{2p'}.k''^{2q'}+\ldots$

$=A_{I}k'^{2\alpha }.k''^{2\beta }+A_{II}k'^{2\alpha '}.k''^{2\beta '}+\ldots \,;$

en nommant $A_{I},A_{II},A_{III},\ldots$ les coefficiens des termes qui, dans le second membre de l’équation précédente, sont indépendans de $k.$ La formule (B) nous fait voir que, pour obtenir les termes qui, dans la valeur de $V,$ sont indépendans de $k,$ il suffit de poser $x=0,$ dans la valeur de $T,$ donnée par la série (A). Il est évident que, par ce moyen, cette série revient à celle que l’on obtiendrait, en développant le radical

${\frac {1}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}-2by-2cz+y^{2}+z^{2}}}},$

suivant les puissances de $y$ et $z,$ en conservant seulement les termes de la forme $H.y^{2m}.z^{2n}.$ L’intégrale d’un tel terme est, en vertu de la formule (B),

${\frac {\left[1.3.5\ldots (2m-1)\right]\left[1.3.5\ldots (2n-1)\right]}{5.7.9\ldots (2m+2n+3)}}MHk'^{2m}.k''^{2n}\,;$

et, d’après l’équation (C), si l’on change, dans ce résultat, $k'^{2}$ et $k''^{2}$ respectivement en $k'^{2}-k^{2}$ et $k''^{2}-k^{2},$ la fonction

${\frac {\left[1.3.5\ldots (2m-1)\right]\left[1.3.5\ldots (2n-1)\right]}{5.7.9\ldots (2m+2n+3).}}.MH.\left(k'^{2}-k^{2}\right)^{m}\left(k''^{2}-k^{2}\right)^{n},$