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ATTRACTION

depuis $\theta =0$ jusqu’à $\theta =100^{\circ },$ l’on obtiendra la valeur de $\int \int \int .x^{2m}.y^{2n}.z^{2l}.\operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} z$ relative à la moitié antérieure de l’ellipsoïde, et qu’en conséquence il suffira de doubler le résultat obtenu entre ces limites, pour que l’intégrale proposée soit étendue à la masse entière du corps.

Commençons l’intégration par rapport à $\phi .$ Il est facile de prouver que l’on a en général

$\int \operatorname {d} \phi .\operatorname {Sin} .\phi ^{2n}.\operatorname {Cos} .\phi ^{2l}={\frac {1}{2n+1}}.\operatorname {Sin} .\phi ^{2n+1}.\operatorname {Cos} .\phi ^{2l-1}$

$+{\frac {2l-1}{2n+1}}\int \operatorname {d} \phi .\operatorname {Sin} .\phi ^{2n+2}.\operatorname {Cos} .\phi ^{2l-2}\,;$

mais, en intégrant depuis $\phi =0$ jusqu’à $\phi =200^{\circ },$ le premier terme de cette intégrale devient toujours nul ; donc l’on aura, en continuant cette transformation,

$\int \operatorname {d} \phi .\operatorname {Sin} .\phi ^{2n}.\operatorname {Cos} .\phi ^{2l}={\tfrac {2l-1}{2n+1}}.{\tfrac {2l-3}{2n+3}}.{\tfrac {2l-5}{2n+5}}.\ldots {\tfrac {1}{2n+2l-1}}\int \operatorname {d} \phi .\operatorname {Sin} .\phi ^{2n+2l}\,;$

Or, par les formules connues, on trouve, entre les mêmes limites,

$\int \operatorname {d} \phi .\operatorname {Sin} .\phi ^{2n+2l}={\frac {1.3.5.7\ldots (2n+2l-1)}{2.4.6.8\ldots (2n+2l)}}\varpi ,$

en nommant $\varpi$ le rapport de la circonférence au diamètre.

Donc

$\int \operatorname {d} \phi .\operatorname {Sin} .\phi ^{2n}.\operatorname {Cos} .\phi ^{2l}={\tfrac {1.3\ldots (2l-1)}{(2n+1)(2n+3)\ldots (2n+2l-1)}}.{\tfrac {1.3\ldots (2n+2l-1)}{2.4.6\ldots (2n+2l)}}\varpi \,;$

ou bien, en réduisant,

$(1)\ \int \operatorname {d} \phi .\operatorname {Sin} .\phi ^{2n}.\operatorname {Cos} .\phi ^{2l}={\frac {\left[1.3.5\ldots (2n-1)\right]\left[1.3.5\ldots (2l-1)\right]}{2.4.6\ldots (2n+2l)}}.\varpi \,;$

Pour effectuer, l’intégration par rapport à $\theta ,$ remarquons que l’on a, en général,

$\int \operatorname {d} \theta .\operatorname {Sin} .\theta ^{2m+2}.\operatorname {Cos} .\theta ^{2n+2l+1}=-{\frac {\operatorname {Sin} .\theta ^{2m+1}.\operatorname {Cos} .\theta ^{2n+2l+2}}{2m+2n+2l+3}}$

$+{\frac {2m+1}{2m+2n+2l+3}}\int \operatorname {d} \theta .\operatorname {Sin} .\theta ^{2m}.\operatorname {Cos} .\theta ^{2n+2l+1}\,;$

mais, entre les limites $\theta =0,\ \theta =100^{\circ },$ le premier terme du second membre de cette équation deient toujours nul ; donc l’on aura, en continuant cette transformation,