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FORMULES

Or, par l’hypothèse, $m$ étant un nombre entier, ${\frac {\varpi }{\omega }}$ doit en être un aussi ; c’est-à-dire, que $\omega$ est un sous-multiple de $\varpi .$ Si, en outre, il est aussi un sous-multiple de ${\tfrac {1}{2}}\varpi ,$ ce qui aura toujours lieu, dans la nouvelle division du cercle, toutes les fois que $\omega ,$ sous-multiple de $\varpi ,$ ne sera pas 8° ou 40° ; la série (E) aura un nombre ${\frac {\varpi }{\omega }}-1$ impair de facteur ; et le $\left({\frac {\varpi }{2\omega }}-1\right)^{me}$ facteur, qui sera le moyen entre tous, sera $\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\varpi =1$ ; de plus, les ${\frac {\varpi }{\omega }}-1$ facteurs situés à la droite de celui-là, seront respectivement égaux aux ${\frac {\varpi }{\omega }}-1$ facteurs situés à sa gauche, puisque la somme des arcs également distants des extrêmes et constamment égaie à $\varpi .$ Donc, en extrayant la racine quarrée des deux membres de l’équation (E), il viendra

${\sqrt {\frac {\varpi }{2^{{\frac {\varpi }{\omega }}-1}.\omega }}}\left\{{\begin{aligned}&=\operatorname {Sin} .\omega \operatorname {Sin} .2\omega \operatorname {Sin} .3\omega \ldots \operatorname {Sin} .\left({\tfrac {1}{2}}\varpi -\omega \right),\\&=\operatorname {Cos} .\omega \operatorname {Cos} .2\omega \operatorname {Cos} .3\omega \ldots \operatorname {Cos} .\left({\tfrac {1}{2}}\varpi -\omega \right)\,;\\\end{aligned}}\right.$

d’où on tire encore les équations

$1\quad \left\{{\begin{aligned}&=\operatorname {Tang} .\omega \operatorname {Tang} .2\omega \operatorname {Tang} .3\omega \ldots \operatorname {Tang} .\left({\tfrac {1}{2}}\varpi -\omega \right),\\&=\operatorname {Cot} .\omega \operatorname {Cot} .2\omega \operatorname {Cot} .3\omega \ldots \operatorname {Cot} .\left({\tfrac {1}{2}}\varpi -\omega \right)\,;\\\end{aligned}}\right.$

Si nous posons $\omega =1^{\circ }$ ; nous aurons

${\sqrt {\frac {\varpi }{2^{{\frac {\varpi }{\omega }}-1}.\omega }}}={\sqrt {\frac {200}{2^{199}}}}={\sqrt {\frac {400}{2^{200}}}}={\frac {20}{2^{100}}}={\frac {10}{2^{99}}}\,;$

en passant donc aux logarithmes de Briggs, nous trouverons

$\operatorname {Log} .\operatorname {Sin} .1^{\circ }+\operatorname {Log} .\operatorname {Sin} .2^{\circ }+\operatorname {Log} .\operatorname {Sin} .3^{\circ }+\ldots +\operatorname {Log} .\operatorname {Sin} .99^{\circ }$

$=1-99^{\circ }\operatorname {Log} .2,\quad$$\mathrm {(F)}$

$\operatorname {Log} .\operatorname {Tang} .1^{\circ }+\operatorname {Log} .\operatorname {Tang} .2^{\circ }+\operatorname {Log} .\operatorname {Tang} .3^{\circ }+\ldots +\operatorname {Log} .\operatorname {Tang} .99^{\circ }$

$=0\,;\qquad$$\mathrm {(G)}$

mais si au rayon l’on veut substituer le rayon $1\,00000\,00000,$ comme on le fait dans les tables trigonométriques, afin d’éviter les logarithmes négatifs, il faudra ajouter 99 dixaines au second