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SÉPARATION

$\left.{\begin{aligned}(99)\ A\phi (x,y)+B\partial ^{1,}\phi (x,y)+C\partial ^{2,}\phi (x,y)+\ldots +N\partial ^{n,}.&\phi (x,y)\\+B_{1}\partial ^{,1}\phi (x,y)+C_{1}\partial ^{1,}\partial ^{,1}.\phi (x,y)+\ldots +N_{1}\partial ^{n-1,}\partial ^{,1}.&\phi (x,y)\\+C_{2}\partial ^{,2}.\phi (x,y)+\ldots +N_{2}\partial ^{n-2,}\partial ^{,2}.&\phi (x,y)\\+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \\+N_{n}\partial ^{,n}.&\phi (x,y)\\\end{aligned}}\right\}=0,$

et supposons que son équation aux échelles

$\left.{\begin{aligned}(100)\qquad A+B\partial ^{1,}+C\partial ^{2,}+\ldots &+N\partial ^{n,}\\+B_{1}\partial ^{,1}+C_{1}\partial ^{1,}\partial ^{,1}+\ldots &+N_{1}\partial ^{n-1,}\partial ^{,1}\\+C_{2}\partial ^{,2}+\ldots &+N_{2}\partial ^{n-2,}\partial ^{,2}\\+\ldots \ldots &\ldots \ldots \\&+N_{n}\partial ^{,n}\\\end{aligned}}\right\}=0,$

ne soit pas susceptible d’être décomposée en facteurs du premier degré ; on pourra du moins en tirer, par la méthode du retour des suites, une valeur de $\partial ^{1,}$ de cette forme

$(101)\qquad \partial ^{1,}=\alpha _{1}+\beta _{1}\partial ^{,1}+\gamma _{1}\partial ^{,2}+\delta _{1}\partial ^{,3}+\ldots ,$

d’où l’on tirera

$\mathrm {E} ^{1,}=e^{\alpha _{1}+\beta _{1}\partial ^{,1}+\gamma _{1}\partial ^{,2}+\delta _{1}\partial ^{,3}+\ldots }$

et

$\mathrm {E} ^{k,}=e^{\left(\alpha _{1}+\beta _{1}\partial ^{,1}+\gamma _{1}\partial ^{,2}+\delta _{1}\partial ^{,3}+\ldots \right)k}$

$=e^{\alpha _{1}k}+\mathrm {D} .e^{\alpha _{1}k}.\partial ^{,1}+{\tfrac {1}{2}}\mathrm {D} ^{2}.e^{\alpha _{1}k}.\partial ^{,2}+{\tfrac {1}{6}}\mathrm {D} ^{3}.e^{\alpha _{1}k}.\partial ^{,3}+\ldots \,;$

$\mathrm {D}$ étant le signe de dérivation, et ne se rapportant qu’à $\alpha _{1}.$

On tire de là, par notre procédé ordinaire,

$(102)\qquad \phi (x,y)=e^{\alpha _{1}x}{\mathcal {f}}_{1}y+\mathrm {D} .e^{\alpha _{1}x}.\partial ^{,1}{\mathcal {f}}_{1}y+{\tfrac {1}{2}}\mathrm {D} ^{2}.e^{\alpha _{1}x}.\partial ^{,2}{\mathcal {f}}_{1}y+\ldots$

cette expression peut se mettre sous la forme suivante, au moyen des échelles détachées

$(103)\qquad \phi (x,y)=e^{\mathrm {D} .\partial ^{,1}}.e^{\alpha _{1}x}.{\mathcal {f}}_{1}y\,;$

où $\mathrm {D}$ ne se rapporte qu’à $\alpha _{1},$ et $\partial ^{,1}$ à $y.$