Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1812-1813, Tome 3.djvu/268

Le texte de cette page a été corrigé et est conforme au fac-similé.
260
SÉPARATION

bien que les intégrales qu’on déduirait des équations et ne soient pas les intégrales complettes de l’équation (60), elles doivent néanmoins y satisfaire, et en être des intégrales particulières. Or, l’intégrale particulière tirée de est et celle tirée de est, par le procédé même dont il est question, étant tel que donc, puisque la proposée est satisfaite, à la fois, par les équations

il s’ensuit, en combinant les deux premières valeurs de , qu’elle est aussi satisfaite par quelle que soit la nature de la constante qui sort du calcul, comme facteur commun à tous les termes ; donc aussi satisfait encore à la proposée, indépendamment de la valeur de la constante  ; donc enfin satisfera aussi la proposée, puisqu’elle est linéaire, indépendamment de la valeur de la constante On peut donc remplacer les deux constantes et par deux constantes arbitraires quelconques et , et donner ainsi à l’intégrale de l’équation (60) la forme connue

On trouverait de même, pour un nombre de racines égales,

et l’intégrale complette de l’équation (51) deviendrait alors

Le principe, ainsi que le procédé de cette méthode, sont entièrement les mêmes, quelle que soit la nature des échelles qui ont des facteurs égaux ; ils ont, comme tout le reste de la méthode, le mérite de l’uniformité.