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DES ÉCHELLES.

ticulier le cas où l’équation aux échelles a des racines égales. Dans ce cas, qui a toujours plus ou moins embarrassé les géomètres^[1], les intégrales cessent d’être complettes ; et il faut, pour les rendre telles, recourir à une nouvelle considération. Jusqu’à présent, on a généralement employé celle de l’infini, qui est peu satisfaisante. Nous allons la remplacer par une autre plus simple et plus rigoureuse, et que, pour plus de clarté et de brièveté, nous appliquerons à un exemple.

18. Supposons que l’équation (53) ait trois racines égales $\alpha _{1}=\alpha _{2}=\alpha _{3},$ on aura $\left(\partial -\alpha _{1}\right)^{3}=0.$ On ne satisferait qu’imparfaitement à cette équation, en supposant $\partial -\alpha _{1}=0$ ; car il faut exprimer que c’est $\left(\partial -\alpha _{1}\right)^{3}$ qui est zéro, et non pas seulement $\left(\partial -\alpha _{1}\right)$ ni $\left(\partial -\alpha _{1}\right)^{2}.$ Pour exprimer cette circonstance, j’observe qu’on a

$e^{\partial -\alpha _{1}}=1+\left(\partial -\alpha _{1}\right)+{\frac {1}{1.2}}\left(\partial -\alpha _{1}\right)^{2}+{\frac {1}{1.2.3}}\left(\partial -\alpha _{1}\right)^{3}+\ldots \,;$

dire donc que $\left(\partial -\alpha _{1}\right)^{3}=0,$ est la même chose que de supposer l’équation suivante :

$e^{\partial -\alpha _{1}}=1+\left(\partial -\alpha _{1}\right)+{\tfrac {1}{2}}\left(\partial -\alpha _{1}\right)^{2}.$

Soit actuellement $\mu$ tel qu’on ait $e^{\mu }=1+\mu +{\tfrac {1}{2}}\mu ^{2}\,;$ ce qui suppose aussi ; $\mu ^{3}=0$ ; on aura évidemment $\partial -\alpha _{1}=\mu \,;$ donc $\mathrm {E} =e^{\partial }=e^{\alpha _{1}+\mu }=e^{\alpha _{1}}.e^{\mu }=\left(1+\mu +{\tfrac {1}{2}}\mu ^{2}\right)e^{\alpha _{1}}\,;$ d’où on tire, par notre marche ordinaire,

$(58)\qquad \phi x=c\left(1+\mu +{\tfrac {1}{2}}\mu ^{2}\right)^{x}.e^{\alpha _{1}x}.$

Or, à cause de $\mu ^{3}=0,$ on a

$\left(1+\mu +{\tfrac {1}{2}}\mu ^{2}\right)^{x}=1+\left(\mu +{\tfrac {1}{2}}\mu ^{2}\right){\frac {x}{1}}+\mu ^{2}.{\frac {x}{1}}.{\frac {x-1}{2}}\,;$

valeur qu’on peut mettre sous la forme $1+\mu _{1}x+\mu _{2}x^{2}\;;$ l’équation (58) devient alors

$(59)\qquad \phi x=c\left(1+\mu _{1}x+\mu _{2}x^{2}\right)e^{\alpha _{1}x}.$

Cette intégrale satisfait à

$(60)\qquad \left(\partial -\alpha _{1}\right)^{3}\phi x,$

indépendamment des relations qui existent entre $\mu _{1}$ et $\mu _{2}.$ En effet,

1. Voyez les pages 46 et 139 de ce volume.
   J. D. G.