Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1812-1813, Tome 3.djvu/265

257

DES ÉCHELLES.

si donc $x=k,$ on a

$\phi k=(1+a)^{\frac {k}{\xi }}\phi (k-k)=C.(1+a)^{\frac {k}{\xi }}\,;$

donc enfin

$(46)\qquad \phi x=C(1+a)^{\frac {x}{\xi }}.$

15. Soit encore à intégrer l’équation aux différences mêlées

$(47)\qquad \mathrm {E} \phi x-a\partial \phi x-b\phi x=0.$

Son équation à échelles est

$(48)\qquad \mathrm {E} -a\partial -b=0\qquad$ou$\qquad \mathrm {E} -aLog.\mathrm {E} -b=0.$

Il s’agirait de tirer de cette équation la valeur de $\mathrm {E} ,$ ce qui ne peut s’exécuter que par les séries. Soit $\alpha$ cette valeur, on aura

$\mathrm {E} =\alpha \qquad$et$\qquad \mathrm {E} ^{k}=\alpha ^{k}\,;$

et par conséquent

$1=\alpha ^{k}\mathrm {E} ^{-k},$

et, en multipliant par la fonction détachée,

$\phi x=\alpha ^{k}\mathrm {E} ^{-k}.\phi x=\alpha ^{k}\phi (x-k)$

d’où, en supposant $x=k,$

$\phi x=\alpha ^{k}\phi (k-k)=C.\alpha ^{k}\,;$

donc enfin

$(49)\qquad \phi x=C\alpha ^{x},$

$\alpha$ étant déterminé par l’équation

$(50)\qquad \alpha -aLog.\alpha -b=0.$

Le système des équations (49) et (50) est donc l’intégrale de la proposée.

Ces deux exemples font assez connaître la marche et l’uniformité de cette méthode d’intégration, pour les équations linéaire du premier ordre. Passons actuellement à l’intégration de celles des ordres supérieurs.

16. Si l’on a une équation linéaire, à coefficiens constans, telle que les suivantes :

${\begin{array}{rrl}(51)&\partial ^{n}\phi x+a_{1}\partial ^{n-1}\phi x+a_{2}\partial ^{n-2}\phi x+\ldots +a_{k}\phi x&=0,\\(52)&\Delta _{\xi }^{n}\phi x+a_{1}\Delta _{\xi }^{n-1}\phi x+a_{2}\Delta _{\xi }^{n-2}\phi x+\ldots +a_{n}\phi x&=0\,;\\\end{array}}$