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DES ÉCHELLES.


elle fournit, en effet, la solution du problème suivant : Connaissant les différences d’une fonction, pour un accroissement donné de la variable, déterminer sa différence d’un ordre quelconque, pour un autre accroissement de la variable ?

Si l’on voulait avoir, en différentielles, l’expression de la différence d’un ordre quelconque pour un accroissement de la variable, la seconde des équations (15), élevée à la puissance donnerait immédiatement

et, en multipliant par

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où il n’y a plus qu’à développer l’échelle du second membre et à multiplier par chaque terme du développement ; on aurait de la même manière, en changeant le signe de

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8. Les deux exemples que nous venons de donner ne sont que des résultats, pour ainsi dire immédiats, des relations de définition entre les échelles de différentiation ; et l’on en tirerait aisément beaucoup d’autres théorèmes également remarquables. On en peut aussi déduire un grand nombre de la remarque que nous avons faite au n.o 5, que toute équation entre des constantes pouvait être considérée comme une équation à échelles qui, étant multipliée par fournissait des formules et des vérités nouvelles. Je me contenterai d’en donner deux exemples, tirés d’un ouvrage inédit de feu mon frère, qui a pour objet ce genre d’application du calcul des échelles qu’il a très étendu, sans avoir connu la démonstration de la légitimité de ces opérations.

9. On trouve dans les Opuscula analytica d’Euler, tome 1.er, page 173, cette formule