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SÉPARATION

En détachant les échelles de ces deux systèmes d’équations, on obtient les relations suivantes, entre les échelles des états variés, celles de différences et celles des différentielles

(14)$\qquad \mathrm {E} =1+\Delta =e^{\partial },\qquad \mathrm {E} ^{\xi }=1+\Delta _{\xi }=e^{\xi \partial }.$

De celles-ci on tire ensuite celles que voici :

(15)$\Delta =\mathrm {E} -1=\left(1+\Delta _{\xi }\right)^{\frac {1}{\xi }}-1=e^{\partial }-1,\ \Delta _{\xi }=\mathrm {E} ^{\xi }-1=\left(1+\Delta \right)^{\xi }-1=e^{\xi \partial }-1\,;$

(16)$\partial =\operatorname {Log} .\mathrm {E} =\operatorname {Log} .(1+\Delta )={\frac {1}{\xi }}\operatorname {Log} .\left(1+\Delta _{\xi }\right)=\operatorname {Log} .\left(1+\Delta _{\xi }\right)^{\frac {1}{\xi }}.$

7. Telles sont les relations qui existent entre les différentes échelles de différentiation. On en tire immédiatement, et de la manière la plus rigoureuse, les beaux théorèmes que M. Lagrange a donnés le premier, dans son mémoire de 1772, et d’autres encore plus généraux. Car, en faisant, sur les deux membres des équations (14), (15) et (16), les mêmes opérations (sans y introduire des variables) et multipliant les résultats par $\phi x,$ on aura autant de théorèmes généraux qu’on voudra. Nous nous contenterons d’en tirer la belle théorie de l’interpolation, donnée par M. Lagrange dans un des Mémoires de l’académie de Berlin, pour les années 1792 et 1793.

Puisqu’on a (14) $\mathrm {E} ^{\xi }=1+\Delta _{\xi },$ on aura aussi $\mathrm {E} ^{\theta }=1+\Delta _{\theta }\,;$ mais on a $\mathrm {E} ^{\theta }=\left(\mathrm {E} ^{\xi }\right)^{\frac {\theta }{\xi }}=\left(1+\Delta _{\xi }\right)^{\frac {\theta }{\xi }}\,;$ donc $1+\Delta _{\theta }=\left(1+\Delta _{\xi }\right)^{\frac {\theta }{\xi }}\,;$ et enfin $\Delta _{\theta }=\left(1+\Delta _{\xi }\right)^{\frac {\theta }{\xi }}-1.$ En élevant chaque membre à la puissance $n,$ on obtient

(17)$\qquad \Delta _{\theta }^{n}=\left\{\left(1+\Delta _{\xi }\right)^{\frac {\theta }{\xi }}-1\right\}^{n},$

et, en multipliant par $\phi x$

(18)$\qquad \Delta _{\theta }^{n}\phi x=\left\{\left(1+\Delta _{\xi }\right)^{\frac {\theta }{\xi }}-1\right\}^{n}.\phi x\,;$

où il ne s’agit plus que de développer l’échelle du second membre, et de multiplier par $\phi x$ chacun des termes de son développement.

Cette formule contient la théorie la plus générale de l’interpolation ;