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DES ÉCHELLES.

Quand on a $\xi =1,$ cette équation devient

\phi (x+1)=\phi x+\partial \phi x+{\tfrac {1}{2}}\partial ^{2}\phi x+{\frac {1}{2.3}}\partial ^{3}\phi x+\ldots

En détachant les échelles des seconds membres de ces équations on peut les mettre sous la forme

(12)

\qquad \phi (x+\xi )=e^{\xi \partial }.\phi x,\qquad \phi (x+1)=e^{\partial }.\phi x

Les expressions $\phi (x+\xi )$ et $\phi (x+1)$ sont ce qu’on appelle les états variés de $\phi x$ ; la variation dépendant de l’accroissement de la variable ; qui est $=\xi ,$ dans la première expression, et $=1,$ dans la seconde. Afin de les rendre susceptibles du calcul des échelles, nous représenterons, avec Arbogast, $\phi (x+1)$ par $\mathrm {E} ^{1}\phi x,$ ou simplement par $\mathrm {E} \phi x,$ , et conséquemment $\phi (x+\xi )$ par $\mathrm {E} ^{\xi }\phi x,$ ; les seconds membres des équations (12) justifient complètement cette notation. Par ce moyen, on peut mettre ces équations sous la forme

\mathrm {E} ^{\xi }.\phi x=e^{\xi \partial }.\phi x,\qquad \mathrm {E} \phi x=e^{\partial }.\phi x.

On a donc, en détachant les échelles

E=e^{\partial }\,;

équation qui exprime la relation entre l’échelle de l’état varié et celle des différentielles.

On a coutume d’exprimer aussi le premier membre de l’équation que fournit le théorème de Taylor par $\phi x+\Delta \phi x\,;$ de sorte que $\phi (x+\xi )=\phi x+\Delta \phi x,$ et que $\Delta \phi x$ exprime l’accroissement de $\phi x$ , lorsque $x$ devient $x+\xi .$ Nous réserverons cette notation pour le cas où l’accroissement de $x$ est $=1,$ et nous représenterons par $\Delta _{\xi }\phi x$ l’accroissement de $\phi x,$ lorsque $x$ devient $x+\xi \,;$ afin que, par notre notation, l’échelle indique en même temps l’accroissement de la variable $x.$ Ainsi, nous aurons

(13)\qquad \left\{{\begin{aligned}\phi (x+1)&=\mathrm {E} \phi x=\phi x+\Delta \phi x=e^{\partial ^{n}}.\phi x,\\\phi (x+\xi )&=\mathrm {E} ^{\xi }\phi x=\phi x+\Delta _{\xi }\phi x=e^{\xi \partial }.\phi x.\\\end{aligned}}\right.