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DES ÉCHELLES.

opérations déterminées qu’il s’agira d’effectuer. Ainsi, on peut écrire les équations (5) de cette manière :

$(6)\left\{{\begin{aligned}\left(\partial +a\partial ^{n-1}+b\partial ^{n-2}+\ldots +k\right)F(x,y)&=0,\\\left(\partial ^{n}+a\Delta \partial ^{n-1}+b\Delta ^{2}\partial ^{n-2}+\ldots +k\Delta ^{n}\right)F(x,y)&=0\,;\\\end{aligned}}\right.$

et c’est ce qu’on appelle détacher les échelles.

3. Il est de plus évident qu’on peut faire subir aux constantes et aux échelles détachées, (3) et (6), telles opérations qu’on veut, sans introduire aucune relation étrangère à la proposée ; ainsi, par exemple, aux équations (3) et (6) on peut substituer

$(7)\left\{{\begin{aligned}\phi (a+b+c+\ldots )F(x,y)&=0,\\\phi \left\{f_{1}(a,b,c,\ldots )+f_{2}(a,b,c,\ldots )+\ldots \right\}F(x,y)&=0,\\\phi \left(\partial ^{n}+a\partial ^{n-1}+b\partial ^{n-2}+\ldots +k\right)F(x,y)&=0,\\\phi \left(\partial ^{n}+a\Delta \partial ^{n-1}+b\Delta ^{2}\partial ^{n-2}+\ldots k\Delta ^{n}\right)F(x,y)&=0\,;\\\end{aligned}}\right.$

où $\phi$ n’affecte que les constantes et les échelles, et indique une fonction quelconque. À plus forte raison peut-on les mettre sous une forme identique, telle que serait leur décomposition en facteurs, ou leur expression sous forme de fonction non développée. Ainsi, si $\partial -\alpha _{1},\partial -\alpha _{2},\partial -\alpha _{3},\ldots \partial -\alpha _{n},$ sont les facteurs de l’échelle $\partial ^{n}+a\partial ^{n-1}+b\partial ^{n-2}+\ldots +k,$ on pourra mettre les équations (6) sous la forme

$(8)\left\{{\begin{aligned}\left(\partial -\alpha _{1}\right)\left(\partial -\alpha _{2}\right)\left(\partial -\alpha _{3}\right)\ldots \left(\partial -\alpha _{n}\right)F(x,y)&=0,\\\left(\partial -\alpha _{1}\Delta \right)\left(\partial -\alpha _{2}\Delta \right)\left(\partial -\alpha _{3}\Delta \right)\ldots \left(\partial -\alpha _{n}\Delta \right)F(x,y)&=0.\\\end{aligned}}\right.$

On pourra donc mettre aussi les équations

$(9)\left\{{\begin{aligned}\left(\partial ^{n}+{\tfrac {n}{1}}\mathrm {E} \partial ^{n-1}+{\tfrac {n}{1}}.{\tfrac {n-1}{2}}\mathrm {E} ^{2}\partial ^{n-2}+{\tfrac {n}{1}}.{\tfrac {n-1}{2}}.{\tfrac {n-2}{3}}\mathrm {E} ^{3}\partial ^{n-3}+\ldots +\mathrm {E} ^{n}\right)F(x,y)&=0,\\\left(\partial +{\tfrac {1}{1.2}}\partial ^{2}+{\tfrac {1}{1.2.3}}.\partial ^{3}+{\tfrac {1}{1.2.3.4}}.\partial ^{4}+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \right)F(x,y)&=0,\\\end{aligned}}\right.$

sous la forme

(10)$\qquad \left(\partial +\mathrm {E} \right)^{n}F(x,y)=0,\qquad \left(e^{\partial }-1\right)F(x,y)=0\,;$

parce que le développement de ces dernières formes redonnerait les premières.