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DES ÉCHELLES.

une démonstration à priori de la légitimité de cette opération. Cette démonstration est d’autant plus nécessaire ; que l’opération de détacher les échelles n’est pas applicable à tous les cas (ce qu’au surplus elle a de commun avec la méthode fondée sur l’analogie en question) ; il faut donc que la démonstration du principe conduise elle-même à distinguer les cas auxquels elle est applicable, de ceux où elle ne l’est pas. C’est cette démonstration, avec quelques applications de la méthode de séparation des échelles, qui va faire le sujet de ce mémoire.

§. 1.

De la séparation des échelles, dans les fonctions à une seule
variable.

1. Si, entre les deux variables $x$ et $y,$ on a une équation exprimée par

(1)$\qquad F(x,y)=0,$

et qu’on multiplie cette équation par tant de constantes et fonctions de constantes qu’on voudra, on ne changera en rien la relation entre $x$ et $y,$ exprimée par cette équation, et on n’y introduira aucune relation nouvelle. Ainsi, les équations

$(2)\left\{{\begin{aligned}aF(x,y)+bF(x,y)+cF(x,y)+\ldots &=0,\\f_{1}(a,b,c,\ldots )F(x,y)+f_{2}(a,b,c,\ldots )F(x,y)+\ldots &=0,\\\end{aligned}}\right.$

qu’on peut aussi mettre sous cette forme

$(3)\left\{{\begin{aligned}(a+b+c+\ldots )F(x,y)&=0,\\\left[f_{1}(a,b,c,\ldots )+f_{2}(a,b,c,\ldots )+\ldots \right]F(x,y)&=0,\\\end{aligned}}\right.$

et dans lesquelles $a,b,c,\ldots$ sont des constantes quelconques, ne disent ni plus ni moins que la proposée (1). Mais il n’en serait plus de même, si l’on multipliait la proposée par une ou plusieurs fonctions soit de $x$, soit de $y,$ soit de $x$ et $y$ : ces nouveaux facteurs, introduisant évidemment des relations nouvelles, changeraient nécessairement la nature de la proposée.