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TRIGONOMÉTRIQUES.

$\operatorname {Sin} .x=2^{m-1}.\operatorname {Sin} .{\tfrac {x}{m}}.\operatorname {Sin} .{\tfrac {\varpi +x}{m}}.\operatorname {Sin} .{\tfrac {2\varpi +x}{m}}\ldots \operatorname {Sin} .{\tfrac {2\varpi -x}{m}}.\operatorname {Sin} .{\tfrac {\varpi -x}{m}}.$ $\mathrm {(II)}$

Ces formules assez remarquables en elles-mêmes, conduisent immédiatement à celles que Lacroix a démontrées, d’après Lhuilier, dans son Traité des différences et des séries^[1]. Il suffit, en effet, pour les en déduire, de faire dans l’équation (I), $x={\tfrac {1}{2}}\varpi ,$ et dans l’équation (II), $x={\tfrac {1}{4}}\varpi ,$, en multipliant cette dernière par 2, On obtient ainsi

$1=2^{m-1}.\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{m}}{\tfrac {\varpi }{2}}.\operatorname {Sin} .{\tfrac {3}{m}}{\tfrac {\varpi }{2}}\ldots .\operatorname {Sin} .{\tfrac {2m-3}{m}}{\tfrac {\varpi }{2}}.\operatorname {Sin} .{\tfrac {2m-1}{m}}{\tfrac {\varpi }{2}}.\quad \mathrm {(B)}$

${\sqrt {2}}=2^{m}.\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2m}}{\tfrac {\varpi }{2}}.\operatorname {Sin} .{\tfrac {3}{2m}}{\tfrac {\varpi }{2}}\ldots .\operatorname {Sin} .{\tfrac {2m-3}{2m}}{\tfrac {\varpi }{2}}.\operatorname {Sin} .{\tfrac {2m-1}{2m}}{\tfrac {\varpi }{2}}.\quad \mathrm {(A)}$

La formule (B) est un peu plus élégante que celle de Lhuilier, que Lacroix a désignée par la même lettre. La différence naît de ce qu’ici les valeurs de $m$ commencent à l’unité, tandis que, dans la formule de Lhuilier, elles commencent à zéro.

En concentrant, pour plus de brièveté, les seconds membres des équations (B) et (A), et multipliant la première par 2, elles deviennent

$2=2^{m}.P\left\{\operatorname {Sin} .{\tfrac {2(1\ldots m)-1}{2m}}\varpi \right\},\ \mathrm {(B')}$

${\sqrt {2}}=2^{m}.P\left\{\operatorname {Sin} .{\tfrac {2(1\ldots m)-1}{2m}}{\frac {\varpi }{2}}\right\},\ \mathrm {(A')}$

et il est très-remarquable qu’on obtient la racine quarrée du produit

$2^{m}.P\left\{\operatorname {Sin} .{\tfrac {2(1\ldots m)-1}{2m}}\varpi \right\},$

par la simple substitution de ${\frac {\varpi }{2}}$ à $\varpi .$

De cette relation on peut conclure, en quarrant l’équation (A’),

1. Voyez le n.^o 1094, page 431, équations (A) et (B).