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QUESTIONS

${\begin{aligned}{\tfrac {m-8}{1}}.{\tfrac {m-7}{2}}.{\tfrac {m-6}{3}}+{\tfrac {m-7}{1}}.{\tfrac {m-6}{2}}.{\tfrac {m-5}{3}}.{\tfrac {m-4}{4}}&+{\tfrac {m-6}{1}}.{\tfrac {m-5}{2}}.{\tfrac {m-4}{3}}.{\tfrac {m-3}{4}}.{\tfrac {m-2}{5}}\\+2.{\tfrac {m-8}{1}}.{\tfrac {m-7}{2}}.{\tfrac {m-6}{3}}.{\tfrac {m-5}{4}}&+{\tfrac {m-7}{1}}.{\tfrac {m-6}{2}}.{\tfrac {m-5}{3}}.{\tfrac {m-4}{4}}.{\tfrac {m-3}{5}}\\+3.{\tfrac {m-9}{1}}.{\tfrac {m-8}{2}}.{\tfrac {m-7}{3}}.{\tfrac {m-6}{4}}&+{\tfrac {m-8}{1}}.{\tfrac {m-7}{2}}.{\tfrac {m-6}{3}}.{\tfrac {m-5}{4}}.{\tfrac {m-4}{5}}\\&+{\tfrac {m-9}{1}}.{\tfrac {m-8}{2}}.{\tfrac {m-7}{3}}.{\tfrac {m-6}{4}}.{\tfrac {m-5}{5}}\\&+{\tfrac {m-10}{1}}.{\tfrac {m-9}{2}}.{\tfrac {m-8}{3}}.{\tfrac {m-7}{4}}.{\tfrac {m-6}{5}}.\\\end{aligned}}$

Ces exemples paraissent suffire pour indiquer la voie à suivre dans cette recherche, et pour montrer que le cas proposé, sur un certain nombre de numéros extraits, est toujours ramené aux deux cas dans lesquels le nombre des numéros extraits est inférieur d’une et de deux unités.

Soit une loterie composée de $m$ numéros, dont on tire un nombre proposé $n.$ On demande le nombre des cas suivant lesquels, parmi les numéros extraits, il y en a quatre qui suivent l’ordre des nombres naturels ; ou qui forment un quaterne successif ?

Je vais encore introduire à la marche de cette recherche par des exemples.

I. Que le nombre des numéros extraits soit quatre ; le nombre des quaternes successifs est évidemment $m-3.$

II. Que le nombre des numéros extraits soit cinq.

1.^o Que le numéro un soit tiré avec les trois numéros suivans. À ce quaterne successif peuvent se joindre les $m-4$ numéros restants pris, un à un. Le nombre des cas est $m-4.$

2.^o Les numéros un et deux étant tirés sans aucun des deux