Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1812-1813, Tome 3.djvu/23

19

FORMULES TRIGONOMÉTRIQUES.

TRIGONOMÉTRIE.

Démonstration de quelques formules trigonométriques
nouvelles ou peu connues ;

Par M. du Bourguet, professeur de mathématiques spéciales
au lycée impérial.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

Soit $\phi (n)$ une fonction quelconque d’un nombre $n$ que nous supposons essentiellement entier et positif ; convenons, pour abréger, de dénoter simplement par $P\left\{\phi (g\ldots h)\right\}$ le produit de toutes les valeurs que reçoit la fonction $\phi (n),$ lorsqu’on y met successivement pour $n$ les nombres consécutifs de la suite naturelle $g,g+1,g+2,\ldots ,h\,;$

en sorte qu’on ait

$P\left\{\phi (g\ldots h)\right\}=\phi (g),\phi (g+1),\phi (g+2),\ldots ,\phi (h).$

Cette notation admise ; le Théorème de Côte donne

$a^{4m}-2a^{2m}b^{2m}\operatorname {Cos} .z+b^{4m}=P\left\{a^{2}\pm 2ab.\operatorname {Cos} .{\tfrac {2(o\ldots m-1)\varpi +z}{2m}}+b^{2}\right\}\,;$

la complication des calculs qu’elle exige. Il désirerait donc que l’on pût déterminer tous les systèmes de valeurs des inconnues qui satisfont à des équations proposées, sans être obligé d’y avoir recours. C’est là, en effet, un sujet qui serait tout à fait digne de fixer l’attention des géomètres. Toute la difficulté du problème se réduirait évidemment à savoir déterminer sans résoudre aucune équation, 1.^o les limites extrêmes des valeurs de chacune des inconnues ; 2.^o une limite au-dessous de laquelle ne pût tomber la différence entre deux valeurs de chacune de ces mêmes inconnues.

J. D. G.