Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1812-1813, Tome 3.djvu/225

217

RÉSOLUES.

pour le nombre des produits de troisième classe où entre $a$ et où la première série contient $\alpha$ facteurs,

${\frac {m-n}{1}}.{\frac {m-n-1}{2}}.(n-\alpha -1)$

faisant donc successivement $\alpha =1,2,3\ldots n-2,$ on aura, pour la totalité de ceux des produits de la troisième classe dont fait partie

${\frac {m-n}{1}}.{\frac {m-n-1}{2}}.\left[(n-2)+(n-3)+(n-3)\ldots +2+1\right]$

$={\frac {n-1}{1}}.{\frac {n-2}{2}}.{\frac {m-n}{1}}.{\frac {m-n-1}{2}}.$

On en conclura le nombre de ceux qui, ne renfermant pas $a,$ renferment $b$ ; le nombre de ceux qui, ne renfermant ni $a$ ni $b,$ renferment $c,$ et ainsi de suite, en y changeant successivement $m$ en $m-1,m-2,\ldots n+2,$ ce qui donnera

$C_{3}={\tfrac {n-1}{1}}.{\tfrac {n-2}{2}}.{\tfrac {1}{2}}\left[(m-n)(m-n-1)+(m-n-1)(m-n-2)+\ldots 3.2+2.1\right],$

ou en sommant la série,^[1]

$C_{3}={\frac {n-1}{1}}.{\frac {n-2}{2}}.{\frac {m-n+1}{1}}.{\frac {m-n}{2}}.{\frac {m-n-1}{3}}.$

On aperçoit déjà facilement la loi de ces résultats, et l’induction conduit à poser généralement

$C_{p}={\frac {n-1}{1}}.{\frac {n-2}{2}}.\ldots {\frac {n-p+1}{p-1}}.{\frac {m-n+1}{1}}.{\frac {m-n}{2}}.\ldots {\tfrac {m-n-p+2}{p}}.$

cette induction se vérifie d’ailleurs par un raisonnement très-familîer aux analistes, et sur lequel, pour cette raison, nous croyons superflu d’insister.

Il est clair que le nombre total des produits $n$ à $n$ que peuvent fournir les $m$ lettres $a,b,c,\ldots$ est égal à la somme des nombres qui expriment combien il y en a de chaque classe ; en sorte qu’on doit avoir

1. Voyez, pour la sommation de cette série, la page 60 de ce volume.