qui peut être énoncée ainsi : la somme des supplémens (à une demi-sphère) des angles solides d’un polyèdre est égale à la somme des supplémens (à une demi-sphère) des angles dièdres de ce polyèdre.
Si, dans l’équation (4), on substitue, pour sa valeur donnée par l’équation (1), elle devient
et fait voir que l’excès de la somme des angles dièdres d’un polyèdre sur celle de ses angles solides est égal à autant de fois quatre angles droits que le polyèdre a de faces moins deux. Cet excès ne dépend donc que du nombre des faces, de même que la somme des angles plans ne dépend que du nombre des sommets ou angles solides.
Les équations (1), (2), (6) forment un système de relations, entre les cinq quantités au moyen duquel deux quelconques d’entre elles étant données, on pourra déterminer les trois autres.
N. B. Les deux théorèmes que je viens de démontrer sont dus à feu mon frère, qui y est parvenu par des sommations longues et pénibles. La démonstration que je viens d’en donner semble permettre de les introduire dans les élémens de géométrie.[1]
- ↑ Le dernier de ces deux théorèmes dépendant de celui d’Euler, doit être,
comme lui, passible de toutes les diverses exceptions mentionnées par M. Lhuilier
dans le mémoire précédent,
J. D. G.
