conque, le point d’intersection des deux droites qui joindront les points de contact de l’ellipse avec les côtés opposés de ce quadrilatère, coïncidera ave le point d’intersection de ses deux diagonales.
Comme toute ellipse est la projection orthogonale d’un cercle, sur un plan non parallèle à celui d’un cercle, et que, dans cette espèce de projection, les points d’intersection et de contingence sont les projections des points d’intersection et de contingence de la figure projetée ; et les droites qui les joignent, projections de celles qui joignent les points correspondans de cette figure ; il suffira, pour établir le théorème, par rapport à l’ellipse, de l’avoir démontré dans le cercle.
LEMME. Un angle quelconque, aigu ou obtus étant donné, il peut toujours être divisé en deux parties dont les sinus aient entre eux un rapport donné ; et il ne peut être ainsi divisé que d’une manière unique.
Cela est évident, lorsque les deux parties de l’angle sont des angles aïgus ; et, quand l’une d’elles est un angle obtus, on démontrera que les parties dont les sinus ont le rapport assigné ne peuvent varier, sans que le rapport des sinus ne varie aussi ; mais une construction simple et facile démontre à la fois la possibilité et l’unité de division de l’angle, suivant la condition demandée.
Soit donc (fig. 4 et 5) un angle quelconque, partagé en deux parties par le rayon soit tirée coupant en et soient menés les sinus respectifs des angles ; la similitude des triangles donnera
or, peut toujours être divisée de façon que le rapport de à soit un rapport donné, et ne peut l’être que d’une seule manière ; donc l’angle peut toujours être divisé en sorte que les sinus de ses parties soient en rapport donné, et ne peut l’être que d’une manière unique.
Démonstration du théorème. Soit (fig. 6) le centre d’un cercle auquel soit circonscrit un quadrilatère de telle
