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DU PREMIER DEGRÉ.

groupes suivans prouvent que $A,B,C,D,\ldots$ que $A',B',C',D',\ldots$ que $A'',B'',C'',D'',\ldots$ que $A''',B''',C''',D''',\ldots$ doivent satisfaire aux mêmes équations, privées de leurs derniers termes, et ne doivent renfermer conséquemment aucune des quantités $k,k',k'',\ldots .$ Je m’occuperai uniquement de la recherche de $A,B,C,D,\ldots ,$ $A',B',C',D',$ $\ldots ,$ $A'',B'',C'',D'',$ $\ldots ,$ $A''',B''',C''',D''',\ldots$ d’autant que la détermination de $T,U,V,X,\ldots ,$ ne peut avoir lieu que pour des cas particuliers ; et que la manière d’y procéder est connue.

La recherche des quantités $A,B,C,D,\ldots ,$ $A',B',C',D',\ldots ,$ $A'',B'',C'',D'',\ldots ,$ $A''',B''',C''',D''',\ldots$ se réduit évidemment à celle d’une suite de fonctions des coefficiens des premiers membres des équations (1) qui soient toutes nulles d’elles-mêmes, et qui, en outre, puissent être mises successivement sous les diverses formes qu’affectent les premiers membres des équations (4), (5), (6), (7),… Or, c’est ce à quoi on peut parvenir facilement, à l’aide des observations présentées, pour la première fois, par M. Bezout, dans sa Théorie des équations algébriques, page 181, et développées postérieurement, d’une manière plus générale et plus lumineuse, par M. Laplace, dans les Mémoires de l’académie des sciences de Paris, pour 1772, page 294.

En vertu de ces observations, les fonctions cherchées sont 1.^o dans le cas d’une équation unique

${\begin{aligned}ba-ab+oc+od+\ldots &=0,\\ca+ob-ac+od+\ldots &=0,\\oa+cb-bc+od+\ldots &=0,\\da+ob+oc-ad+\ldots &=0,\\oa+db+oc-bd+\ldots &=0,\\oa+ob+dc-cd+\ldots &=0,\\\end{aligned}}$

2.^o dans le cas de deux équations