Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1812-1813, Tome 3.djvu/15

11

NUMÉRIQUES.

$B_{2}y+{\tfrac {1}{3}}B_{4}y^{3}+{\tfrac {1}{5}}B_{6}y^{5}+{\tfrac {1}{7}}B_{8}y^{7}+\ldots$

Cette série, lorsque $y$ est une petite fraction, est tellement convergente que les trois et même les deux premiers termes suffisent pour en trouver la valeur numérique jusqu’à neuf décimales. Souvent même on pourra faire simplement $\Gamma y=B_{2}y={\tfrac {1}{12}}y.$ On trouve le $\Gamma$ d’un nombre quelconque, par la formule qui suit :

$\Gamma r=\Gamma {\frac {r}{1+mr}}-m-Log.1^{m|r}+\left(m-{\tfrac {1}{2}}+{\frac {1}{r}}\right)Log.(1+mr),$

dans laquelle $m$ désigne un nombre quelconque, pris à volonté ; on peut le prendre égal à $4,5$ ou $6,$ tout au plus. J’ai prouvé de plus que

et qu’on a ensuite

${\begin{aligned}\Gamma {\frac {1}{m+1}}&=\Gamma _{1}+m+Log.1^{m|1}-\left(m+{\tfrac {1}{2}}\right)Log.(m+1),\\\Gamma {\frac {2}{2m+1}}&=\Gamma _{2}+m+Log.1^{m|2}-mLog.(2m+1).\\\end{aligned}}$

Ainsi les $\Gamma$ de toutes les fractions de l’une ou de l’autre des deux formes générales, ${\frac {1}{m+1}},{\frac {2}{2m+1}},\ m$ désignant un nombre entier quelconque, se réduisent, dans tous les cas, à une simple addition de logarithmes hyperboliques.

10. Si l’on applique au cas de $a=1,r=1,$ les formules de l’ouvrage cité, on aura

$Log.nat.(+y)!=-y+\left(y+{\tfrac {1}{2}}\right)Log.(1+y)-\Gamma _{1}+\Gamma .{\frac {1}{1+y}},$

$Log.nat.(-y)!=+y-\left(y-{\tfrac {1}{2}}\right)Log.(1-y)-\Gamma _{1}+\Gamma .{\frac {1}{1-y}}\,;$

(Refr. ast. chap. III, 181). La variable $y$ sera, dans tous les cas, une fraction moindre que l’unité. Si toutefois la série qui donne $\Gamma .{\frac {1}{1+y}}$ et $\Gamma .{\frac {1}{1-y}}$ ne paraît pas converger assez tôt, on prendra, à