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NUMÉRIQUES.

d’où on conclura

(a-x)^{\left.{\frac {x}{r}}\right|r}\cdot (a+x)^{\left.-{\frac {x}{r}}\right|r}={\frac {f!f!}{\left(f-{\frac {x}{r}}\right)!\left(f+{\frac {x}{r}}\right)!}}\,;

la solution du problème proposé sera donc réduite à la détermination des trois facultés $f!,\left(f-{\frac {x}{r}}\right)!,\left(f+{\frac {x}{r}}\right)!$ dont on trouvera les valeurs numériques toutes calculées, dans la table donnée à la page 6 de ce volume.^[1]

18. PROBLÈME II. Évaluer numériquement le produit

\left\{1+{\frac {x^{2}}{a^{2}}}\right\}\left\{1+{\frac {x^{2}}{(a+r)^{2}}}\right\}\left\{1+{\frac {x^{2}}{(a+2r)^{2}}}\right\}\left\{1+{\frac {x^{2}}{(a+3r)^{2}}}\right\}\ldots

continué à l’infini ?

Solution. En continuant de faire ${\frac {a}{r}}-1=f,$ il suffira de remplacer $x$ par $ix,$ dans la formule qu’on vient de trouver. Le produit demandé deviendra égal à

↑ Depuis l’impression de la table de M. Bessel, nous nous sommes aperçu que M. Legendre dans ses Exercices de calcul intégral (Paris, 1811), avait publié une table du même genre, et nous venons d’apprendre qu’une pareille table venait aussi d’être calculée par M. Gauss. Voilà donc trois géomètres du premier ordre qui, faute de moyens rapides de communication, ont consommé un temps précieux en de pénibles calculs, pour parvenir aux mêmes résultats.
M. Legendre, dans sa table, désigne par $a-1$ ce que M. Kramp représente par $y,$ et par, ce que M. Kramp désigne par $y.$ Cette table, calculée par une méthode analogue à celle qui a été indiquée dans la note de la page 12 de ce volume, ne contient les logarithmes de la faculté $y!$ qu’à sept décimales seulement, et encore la septième décimale n’y est pas toujours exacte ; on n’y trouve pas non plus les différences des logarithmes qu’elle renferme ; mais ces logarithmes y sont calculés pour les valeurs de $y$ de millième en millième, ce qui rend à la fois les interpolations plus faciles et moins fréquemment nécessaires. Les détails dans lesquels entre M. Legendre, sur le calcul de cette table, et sur la nature, les propriétés et les usages des nombres qu’elle renferme, sont d’ailleurs du plus grand intérêt.

J. D. G.

[1] Depuis l’impression de la table de M. Bessel, nous nous sommes aperçu que M. Legendre dans ses Exercices de calcul intégral (Paris, 1811), avait publié une table du même genre, et nous venons d’apprendre qu’une pareille table venait aussi d’être calculée par M. Gauss. Voilà donc trois géomètres du premier ordre qui, faute de moyens rapides de communication, ont consommé un temps précieux en de pénibles calculs, pour parvenir aux mêmes résultats.
M. Legendre, dans sa table, désigne par $a-1$ ce que M. Kramp représente par $y,$ et par, ce que M. Kramp désigne par $y.$ Cette table, calculée par une méthode analogue à celle qui a été indiquée dans la note de la page 12 de ce volume, ne contient les logarithmes de la faculté $y!$ qu’à sept décimales seulement, et encore la septième décimale n’y est pas toujours exacte ; on n’y trouve pas non plus les différences des logarithmes qu’elle renferme ; mais ces logarithmes y sont calculés pour les valeurs de $y$ de millième en millième, ce qui rend à la fois les interpolations plus faciles et moins fréquemment nécessaires. Les détails dans lesquels entre M. Legendre, sur le calcul de cette table, et sur la nature, les propriétés et les usages des nombres qu’elle renferme, sont d’ailleurs du plus grand intérêt.

J. D. G.

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