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FACULTÉS

${\begin{aligned}D&=+{\tfrac {1}{4}}\Sigma {\tfrac {r^{4}}{a^{4}}},\\E&=-{\tfrac {1}{5}}\Sigma {\tfrac {r^{5}}{a^{5}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}$

De $\operatorname {Log} .a^{y|r}$ on passe facilement à cette factorielle elle-même ; et si l’on représente par

$1+A'y+B'y^{2}+C'y^{3}+D'y^{4}+\ldots$

la série qui l’exprime, on aura

${\begin{aligned}A'&=A,\\2B'&=AA'+2B,\\3C'&=AB'+2BA'+3C,\\4D'&=AC'+2BB'+3CA'+4D,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}$

8. On peut remarquer, au sujet des nombres de Bernonlli, que les séries que nous allons désigner, et dont nous ferons un usage fréquent, dans le calcul sommatoire, sont toutes parfaitement sommables. En faisant, pour abréger, $e^{y}=x,$ on a

${\begin{array}{ll}B_{2}.{\tfrac {y^{2}}{1.2}}+B_{4}.{\tfrac {y^{4}}{1.2.3.4}}+B_{6}.{\tfrac {y^{6}}{1.2.3.4.5.6}}+\ldots &=\operatorname {Log} .{\tfrac {e^{{\tfrac {1}{2}}y}-e^{-{\tfrac {1}{2}}y}}{y}},\\B_{2}.\ {\tfrac {y}{1}}\ +B_{4}.\ {\tfrac {y^{3}}{1.2.3}}\ +B_{6}.{\tfrac {y^{5}}{1.2.3.4.5}}+\ldots &=-{\tfrac {1}{y}}+{\tfrac {1}{2}}.{\tfrac {x+1}{x-1}},\\B_{2}\quad \ \ +B_{4}.\ {\tfrac {y^{2}}{1.2}}\ \ +B_{6}.{\tfrac {y^{4}}{1.2.3.4}}+\ldots &=+{\tfrac {1}{y^{2}}}-{\tfrac {x}{(x-1)^{2}}},\\B_{4}.\ {\tfrac {y}{1}}\ +B_{6}.\ {\tfrac {y^{3}}{1.2.3}}\ +B_{8}.{\tfrac {y^{5}}{1.2.3.4.5}}+\ldots &=-{\tfrac {2}{y^{3}}}+{\tfrac {x(x+1)}{(x-1)^{3}}},\\B_{4}\quad \ \ +B_{6}.\ {\tfrac {y^{2}}{1.2}}\ \ +B_{8}.{\tfrac {y^{4}}{1.2.3.4}}+\ldots &=+{\tfrac {6}{y^{4}}}-{\tfrac {x\left(x^{2}+4x+1\right)}{(x-1)^{4}}},\\B_{6}.\ {\tfrac {y}{1}}\ +B_{8}.\ {\tfrac {y^{3}}{1.2.3}}\ +B_{10}.{\tfrac {y^{5}}{1.2.3.4.5}}+\ldots &=-{\tfrac {24}{y^{5}}}+{\tfrac {x\left(x^{3}+11x^{2}+11x+1\right)}{(x-1)^{5}}},\\B_{6}\quad \ \ +B_{8}.\ {\tfrac {y^{2}}{1.2}}\ \ +B_{10}.{\tfrac {y^{4}}{1.2.3.4}}+\ldots &=+{\tfrac {120}{y^{6}}}-{\tfrac {x\left(x^{4}+26x^{3}+66x^{2}+26x+1\right)}{(x-1)^{6}}},\\B_{8}.\ {\tfrac {y}{1}}\ +B_{10}.{\tfrac {y^{3}}{1.2.3}}\ +B_{12}.{\tfrac {y^{5}}{1.2.3.4.5}}+\ldots &=-{\tfrac {720}{y^{7}}}+{\tfrac {x\left(x^{5}+57x^{4}+302x^{3}+302x^{2}+57x+1\right)}{(x-1)^{7}}},\\\end{array}}$

et ainsi des autres. La loi que suivent les coefficiens des polynômes