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RÉSOLUES.

Les conditions du jeu étant celles qu’on a vues dans l’énoncé du problème, proposons-nous de trouver, dans ce cas particulier, le droit des deux joueurs sur l’enjeu commun, ou quelles sont leurs espérances, mathématiquement calculées.

Soient désignées respectivement par $x_{1},\,x_{2},\,x_{3},\,x_{4}$ les probabilités favorables au joueur $\mathrm {A} ,$ dans les hypothèses successives

$\mathrm {A_{1},\,B_{4}\,;\quad A_{2},\,B_{3}\,;\quad A_{3},\,B_{2}\,;\quad A_{4},\,B_{1}\,;\;}$

d’après quoi on aura, $x=0,\;x_{s}=1.$

Il est évident que, suivant que $\mathrm {A}$ gagnera la première partie ou qu’il la perdra, son espérance deviendra $x_{2}$ ou $x_{0}=0\,;$ que s’il la gagne, suivant qu’il gagnera ou qu’il perdra la seconde, son espérance deviendra $x_{3}$ ou $x_{1},$ et ainsi de suite ; puis donc que les probabilités qu’il a de gagner ou de perdre chaque partie, sont respectivement ${\tfrac {2}{3}}$ et ${\tfrac {1}{3}}$, on aura

${\begin{aligned}x_{1}=&{\tfrac {2}{3}}x_{2},\\x_{2}=&{\tfrac {2}{3}}x_{3}+{\tfrac {1}{3}}x_{1},\\x_{3}=&{\tfrac {2}{3}}x_{4}+{\tfrac {1}{3}}x_{2},\\x_{4}=&{\tfrac {2}{3}}\quad +{\tfrac {1}{3}}x_{3}\,;\\\end{aligned}}$

ces équations étant en même nombre que les inconnues qu’elles renferment, ces inconnues pourront être déterminées et conséquemment on pourra assigner, pour chaque état du jeu, l’espérance de chacun des joueurs.

En faisant le calcul, désignant en général par $y_{q}$ l’espérance de $\mathrm {B}$ lorsqu’il a $q$ jetons, et se rappelant que la somme des espérances des deux joueurs doit être l’unité, on obtiendra le tableau suivant

Hypothèses $\left\{{\begin{aligned}\mathrm {A_{1},B_{4}} \ldots \ldots \quad &x_{1}={\tfrac {16}{31}},\quad y_{4}={\tfrac {15}{31}}\,;\\\mathrm {A_{2},B_{3}} \ldots \ldots \quad &x_{2}={\tfrac {24}{31}},\quad y_{3}={\tfrac {7}{31}}\,;\\\mathrm {A_{3},B_{2}} \ldots \ldots \quad &x_{3}={\tfrac {28}{31}},\quad y_{2}={\tfrac {3}{31}}\,;\\\mathrm {A_{4},B_{1}} \ldots \ldots \quad &x_{4}={\tfrac {30}{31}},\quad y_{1}={\tfrac {1}{31}}.\\\end{aligned}}\right.$

Ainsi, dans l’hypothèse proposée $\mathrm {A_{1},\,B_{4}} ,$ les espérances des joueurs $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ sont respectivement ${\tfrac {16}{31}}$ et ${\tfrac {15}{31}}.$ Mais on voit que, pour parvenir à ce résultat, nous avons été obligés de calculer les espérances des