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LOGARITHMIQUES.

à $x$ différentes valeurs, jusqu’à ce qu’on obtienne au moins un nombre $n$ d’équations, dans lesquelles il n’entre que les logarithmes de $n$ nombres premiers ; et, au moyen de ces équations, on détermine ensuite la valeur de chacun de ces logarithmes. Si, par exemple, on met successivement à la place de $x$, dans la formule $\mathrm {U,}$ les nombres ${\mathcal {9,10,11,12,13,14,17,19,25{\text{ et }}27}},$ on aura les équations :

${\begin{array}{ll}\ \ \ \mathrm {4L_{2}+2L_{3}-\ \ L_{7}\ -\ \ L_{17}\cdots } &=\mathrm {2M} \left[{\frac {25}{263}}\quad +{\frac {1}{3}}\left({\frac {25}{263}}\right)^{3}\quad +{\text{etc.}}\right]\\-\ \ \mathrm {L_{3}-\ \ L_{7}-\ \ L_{13}+2L_{17}\cdots } &=\mathrm {2M} \left[{\frac {8}{281}}\quad +{\frac {1}{3}}\left({\frac {8}{281}}\right)^{3}\quad +{\text{etc.}}\right]\\\mathrm {-3L_{2}+2L_{3}-\ \ L_{7}+2L_{11}-\ \ L_{19}\cdots } &=\mathrm {2M} \left[{\frac {25}{2153}}\ +{\frac {1}{3}}\left({\frac {25}{2153}}\right)^{3}\quad +{\text{etc.}}\right]\\\mathrm {-\ \ L_{3}-\ \ L_{7}-\ \ L_{17}+2L_{19}\cdots } &=\mathrm {2M} \left[{\frac {2}{359}}\quad +{\frac {1}{3}}\left({\frac {2}{359}}\right)^{3}\quad +{\text{etc.}}\right]\\\mathrm {-3L_{2}-\ \ L_{3}-\ \ L_{7}\ +2L_{13}\cdots } &=\mathrm {2M} \left[{\frac {1}{337}}\quad +{\frac {1}{3}}\left({\frac {1}{337}}\right)^{3}\quad +{\text{etc.}}\right]\\\mathrm {-\ \ L_{3}+6L_{7}-2L_{11}-\ \ L_{17}-\ \ L_{19}\cdots } &=\mathrm {2M} \left[{\frac {200}{117449}}+{\frac {1}{3}}\left({\frac {200}{117449}}\right)^{3}+{\text{etc.}}\right]\\\ \ \ \mathrm {2L_{2}-\ \ L_{3}-\ \ L_{5}-\ \ L_{7}\ -\ \ L_{11}+2L_{17}\cdots } &=\mathrm {2M} \left[{\frac {1}{2311}}\ \ +{\frac {1}{3}}\left({\frac {1}{2311}}\right)^{3}\quad +{\text{etc.}}\right]\\\mathrm {-3L_{2}-2L_{3}-\ \ L_{7}-2L_{11}+2L_{13}+2L_{19}\cdots } &=\mathrm {2M} \left[{\frac {25}{121993}}+{\frac {1}{3}}\left({\frac {25}{121993}}\right)^{3}+{\text{etc.}}\right]\\\ \ \ \mathrm {6L_{2}+2L_{3}+2L_{5}-\ \ L_{7}\ -2L_{11}-\ \ L_{17}} &=\mathrm {2M} \left[{\frac {1}{28799}}\ +{\frac {1}{3}}\left({\frac {1}{28799}}\right)^{3}\ \ +{\text{etc.}}\right]\\\mathrm {-4L_{2}+4L_{3}-\ \ L_{7}-\ \ L_{11}+2L_{17}-\ \ L_{19}} &=\mathrm {2M} \left[{\frac {1}{46817}}\ +{\frac {1}{3}}\left({\frac {1}{46817}}\right)^{3}\ \ +{\text{etc.}}\right]\\\end{array}}$

Ces dix équations ne renferment que les logarithmes des huit premiers nombres simples ${\mathcal {2,3,5,7,11,13,17,19}}$ ; et, comme on n’a besoin que de huit équations pour déterminer huit inconnues, il est clair (le logarithme de 5 n’entrant que dans deux équations ) qu’on en déduira quarante-quatre systèmes de huit équations, qui pourront tous servir à trouver les valeurs de ces logarithmes. De tous ces systèmes, celui des huit dernières étant le plus avantageux, parce qu’il contient les séries les plus convergentes, prenons ces huit équations et faisons, pour abréger :