Telle est la forme sous laquelle se présente alors l’équation primitive de la courbe ; elle renferme, comme l’on voit, trois constantes arbitraires qui ne peuvent être déterminées que par un même nombre de conditions distinctes. On peut, au surplus, à cette équation substituer la suivante dont la forme est assez remarquable :
En faisant dans l’équation, considérée sous sa première forme,
, on en déduit ces deux-ci :
ce qui offre le moyen de construire la courbe par points, à l’aide d’une logarithmique et d’une hyperbole équilatérale, lorsque les constantes , sont connues.
Les conditions qui se présentent à la fois le plus naturellement et le plus utilement pour la détermination de ces trois constantes, sont la longueur de la chaînette et la situation de ses deux extrémités ; soit donc pris l’une de ces extrémités pour origine ; soit les coordonnées de l’autre, et soit à la longueur de la courbe entre ces deux points, en différenciant l’équation de la courbe, il vient, comme nous l’avons déjà vu :
d’où
donc
