Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1810-1811, Tome 1.djvu/53

49

LOGARITHMIQUES.

Il faut, par conséquent, que la quantité :

$(b+c+d)-4(b+c+d)(b^{2}c+b^{2}d+bc^{2}+2bcd+bd^{2}+c^{2}d+cd^{2})$

ou

$b^{4}-2(c+d)^{2}b^{2}-4cd(c+d)b+(c^{2}-d^{2})^{2}$

qui est sous le radical, soit égale à un carré. On la rend telle, en supposant d’abord : $b=c+d$

ce qui la réduit à :

$-8cd(c+d)^{2}$

et faisant ensuite :

$c=2\alpha ^{2}\quad {\text{ et }}\quad d=-\beta ^{2}$

car alors elle devient :

$16\alpha ^{2}\beta ^{2}(2\alpha ^{2}-\beta ^{2})^{2}$

On trouve, d’après cela :

$a={\frac {-4(2\alpha ^{2}-\beta ^{2})^{2}\pm 4\alpha \beta (2\alpha ^{2}-\beta ^{2})}{4(2\alpha ^{2}-\beta ^{2})}}=-2\alpha ^{2}\pm \alpha \beta +\beta ^{2}$

et

$-a-b-c-d=-2\alpha ^{2}\mp \alpha \beta +\beta ^{2}$

enfin l’équation primitive se change en

$\left[x-(2\alpha +\beta )(\alpha -\beta )\right]\left[x-(2\alpha -\beta )(\alpha +\beta )\right]\left[x+2\alpha ^{2}-\beta ^{2}\right]\left[x+2\alpha ^{2}\right]\left[x-\beta ^{2}\right]=0$

ou

$\left.{\begin{array}{lr}\left.{\begin{array}{lc}x^{5}-(8\alpha ^{4}-5\alpha ^{2}\beta ^{2}+2\beta ^{4})x^{3}+(16\alpha ^{8}-28\alpha ^{6}\beta ^{2}+22\alpha ^{4}\beta ^{4}-7\alpha ^{2}\beta ^{6}+\beta ^{8})x-&\\\qquad \qquad \qquad 2\alpha ^{2}\beta ^{2}(\alpha ^{2}-\beta ^{2})(4\alpha ^{2}-\beta ^{2})(2\alpha ^{2}-\beta ^{2})&\\\end{array}}\right\}=0\\{\text{et on a pour seconde équation : }}&\\\left[x+(2\alpha +\beta )(\alpha -\beta )\right]\left[x+(2\alpha -\beta )(\alpha +\beta )\right]\left[x-2\alpha ^{2}+\beta ^{2})\right]\left[x-2\alpha ^{2}\right]\left[x+\beta ^{2}\right]=0\\{\text{ou}}&\\\left.{\begin{array}{lc}x^{5}-(8\alpha ^{4}-5\alpha ^{2}\beta ^{2}+2\beta ^{4})x^{3}+(16\alpha ^{8}-28\alpha ^{6}\beta ^{2}+22\alpha ^{4}\beta ^{4}-7\alpha ^{2}\beta ^{6}+\beta ^{8})x+&\\\qquad \qquad \qquad 2\alpha ^{2}\beta ^{2}(\alpha ^{2}-\beta ^{2})(4\alpha ^{2}-\beta ^{2})(2\alpha ^{2}-\beta ^{2})&\\\end{array}}\right\}=0\end{array}}\right\}\mathrm {T}$

La résultante commune de ces deux équations n’a point de racines