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LOGARITHMIQUES.

dont la résultante est :

$x(x+b+c)=0$

l’équation auxiliaire

$x^{2}+(b+c)x+{\frac {bc}{2}}=0$

donne :

$x={\frac {-(b+c)\pm {\sqrt {b^{2}+c^{2}}}}{2}}$

et en faisant :

$b^{2}+c^{2}=(a+c)^{2}=a^{2}+2ac+c^{2}$

on trouve :

$c=-{\frac {a^{2}-b^{2}}{2a}}\quad {\text{ et }}\quad b^{2}+c^{2}={\frac {(a^{2}+b^{2})^{2}}{4a^{2}}}$

d’où on déduit : $x={\frac {a^{2}-2ab-b^{2}\pm (a^{2}+b^{2})}{4a^{2}}}$

Les valeurs de $d$, dans le cas présent, seront donc,

$d={\frac {a-b}{2}}\quad {\text{ et }}\quad d=-{\frac {b(a+b)}{2a}}$

En prenant la première valeur, et substituant, dans la proposée ainsi que dans sa résultante, $x+{\frac {a+b}{2}}$ à la place de $x$, on aura deux transformées qui, en multipliant toutes leurs racines par $2a$, deviendront :

$x^{2}+(a^{2}+b^{2})x-ab(a^{2}-b^{2})=0{\text{ ou }}\left[x+2(a+b)\right]\left[x-b(a-b)\right]=0$

$x^{2}+(a^{2}+b^{2})x+ab(a^{2}-b^{2})=0{\text{ ou }}\left[x+2(a-b)\right]\left[x+b(a+b)\right]=0$

Ces deux équations, ne différant entre elles que par le signe de leur dernier terme, et ayant une résultante commune dont les racines sont