de manière que les points de concours des droites trois à trois est, en général, moindre de deux unités que le nombre des points donnés, et que les angles fermés par ces droites autour de ces points sont tous égaux entre eux et à quatre tiers d’angles droits. Il n’est donc plus question maintenant que d’enseigner à construire le problème.
Construction. On sait déjà résoudre le problème pour deux points donnés, puisqu’alors il n’y a d’autre droite à construire que celle qui joint ces deux points ; on sait même le résoudre pour trois points donnés (5) ; si donc on parvient à ramener sa solution, pour le cas où les points donnés sont au nombre de , à celle qui convient au cas où ces points seraient seulement au nombre de on saura le résoudre généralement ; or c’est ce à quoi on peut parvenir très simplement, en procédant comme il suit :
Soient pris arbitrairement (fig. 26) deux , des points donnés, de manière pourtant qu’en les joignant par une droite indéfinie cette droite laisse d’un même côté les points restans. Sur la distance comme corde soit décrit, du côté des autres points donnés, un arc , capable de ; soit le milieu du reste de la circonférence, et soit substitué ce point aux deux points ; on n’aura plus alors que points. Soit résolu le problème relativement à ces points, et soit alors celle des droites cherchées qui vient se terminer au point ; en menant , et substituant ces deux cordes à la partie de interceptée dans le cercle, le problème se trouvera résolu pour les points donnés. On peut remarquer au surplus que, les droites du système ne pouvant avoir que trois directions distinctes, il s’ensuit que, trois d’entre elles étant déterminées, toutes les autres se déterminent en menant des parallèles à ces trois-là.
16. Remarque I. Ce que cette construction laisse d’arbitraire dans le choix des points à employer successivement, fait que, passé le cas de trois points donnés, le problème admet plusieurs solutions, et que, lorsque ces points sont au nombre de plus de cinq, il peut être résolu par
