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RÉSOLUES.

7. PROBLÈME III. Déterminer un point dont la somme des distances à un point et à deux droites donnés soit la moindre possible^[1] ?

Analise et construction. Soient (fig. 15) $\mathrm {SE,SF}$, les deux droites et $\mathrm {C}$ le point donné ; soit $\mathrm {M}$ le point cherché ; soit joint $\mathrm {MG}$ et soient abaissées sur $\mathrm {SE}$ et $\mathrm {SF}$ les perpendiculaires $\mathrm {MA}$ et $\mathrm {MB}$.

Par un raisonnement analogue à celui qui a été employé dans le problème précédent, il est facile de se convaincre que la somme des droites $\mathrm {MA,MB,MC}$, ne peut être un minimum à moins que les angles formés par ces droites, autour du point $\mathrm {M}$, ne soient égaux entre eux et à quatre tiers d’angle droit.

Or, comme l’angle $\mathrm {AMB}$ se trouve déterminé à être le supplément de l’angle $\mathrm {S}$, il s’ensuit que le problème sera impossible, si cet angle $\mathrm {S}$ n’est pas de $60^{\circ }$.

Si au contraire l’angle $\mathrm {S}$ se trouve être de $60^{\circ }$, le problème demeurera indéterminé, et on pourra prendre pour $\mathrm {M}$ l’un quelconque des points de la parallèle conduite par $\mathrm {C}$ à la droite qui divise l’angle $\mathrm {S}$ en deux parties égales.

8. PROBLÈME IV. Déterminer un point dont la somme des distances à trois droites données soit la moindre possible ?

Analise et construction. Soient (fig. 16) $\mathrm {EF,FD,DE}$, les droites données ; $\mathrm {M}$ le point cherché, et $\mathrm {MA,MB,MC}$ les perpendiculaires abaissées de ce point sur ces trois droites.

On prouvera encore facilement ici, comme ci-dessus, que, pour que la somme de ces perpendiculaires soit un minimum, il faut que les angles qu’elles forment autour du point $\mathrm {M}$ soient égaux entre eux et à quatre tiers d’angle droit.

Or, comme ces angles sont déterminés à être respectivement les supplémens des angles $\mathrm {D,E,F}$ ; il s’ensuit que si ces derniers ne sont pas tous de $60^{\circ }$ ; c’est-à-dire, en d’autres termes, que si le triangle $\mathrm {DEF}$ n’est point équilatéral, le problème ne pourra être résolu.

1. C’est le premier des deux problèmes proposés à la page 232.